Enunciado

Mostre que a função de onda Ψ ( x ) = A e i k x , é uma solução da equação

- h 2 π 2 2 m d 2 Ψ ( x ) d x 2 + U ( x ) Ψ ( x ) = E Ψ ( x ) para uma partícula de massa m , na região onde a energia potencial é uma constante U o < E . Encontre uma expressão para k e relacione-a ao momento linear da partícula e ao comprimento de onda de De Broglie.

Passo 1

Para descobrirmos se a função de onda é solução da equação, precisamos substituir a função nela.

- h 2 π 2 2 m d 2 d x 2 A e i k x + U ( x ) A e i k x = E A e i k x

- h 2 π 2 2 m i 2 k 2 A e i k x + U o A e i k x = E A e i k x

- h 2 π 2 2 m - k 2 + U o = E

h 2 π 2 2 m k 2 = E - U o

k = 2 m E - U o h 2 π

A função dada será solução se k = 2 m E - U o h 2 π .

Passo 2

Já mostramos que a função dada é solução da equação e já encontramos uma expressão para o k . Agora precisamos relacioná-lo ao comprimento de onda e ao momento linear.

Para o momento linear:

k = p h 2 π

Passo 3

Relacionando agora ao comprimento de onda de De Broglie:

k = 2 π λ

Resposta

k = 2 m E - U o h 2 π , k = p h 2 π , k = 2 π λ

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