57. Demonstre que a Equação 14.52, para freqüência angular de um pêndulo físico, recai na Equação 14.49 para o caso de um pêndulo simples formado por uma massa presa a uma mola.

Passo 1

Se liga só! A fórmula que o exercício menciona tem a seguinte cara...

ω = m g l I

Em seguida, repara na seguinte imagem abaixo...

Bom! Desprezando a massa do (fio, corda, cabo, etc...) que segura o objeto, o momento de inérica desse sistema é dado por...

I = m l 2

Que é simplesmente o momento de inércia, considerando a distância do objeto até o eixo de rotação.

Substituindo esse I na fórmula anterior da velocidade angular...

ω = m g l I

ω = m g l m l 2

ω = g l

Pronto! No final das contas, essa é a mesma equação da frequência angular do pêndulo simples!

Passo 2

Se fosse uma mola ao invés de um cabo ou corda! Nos íamos pegar a relação abaixo...

ω = k l 2 I

E como I = m l 2 ...

ω = k l 2 m l 2

ω = k m

Obtemos assim, a mesma equação da frequência angular de um sistema massa-mola!

Viu só! O fim é sempre o mesmo!

Resposta

Demonstração...

ω = g l

ω = k m

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