Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 59
59. Em uma experiência, dois prótons são lançados diretamente um contra o outro, cada um se deslocando com a metade da velocidade da luz em relação ao laboratório. Que velocidade tem um próton em relação ao outro? Qual seria a resposta à parte se usássemos apenas mecânica newtoniana não-relativística? Qual é a energia cinética de cada próton em relação a um observador em repouso no laboratório e um observador se deslocando com um dos prótons? Quais seriam as respostas à parte se usássemos apenas mecânica newtoniana não-relativística?
Passo 1
Então galera, nesse problema temos dois referencias um referencial do laboratório que podemos chamar de e o referencial do próton que se move para direita, que podemos chamar de .
No referencial temos que os dois prótons tem uma velocidade , com isso podemos achar a velocidade de um próton em relação ao outro se encontrarmos a velocidade do próton que se move para a esquerda no referencial que é o referencial do outro próton que se move para direita.
Lembrando que a velocidade é igual a do próton que vai para direita.
Podemos encontrar essa velocidade com a transformada de Lorentz para a velocidade, dada por:
Onde é a velocidade no referencial , no referencial e a velocidade de .
Isso é para o item , para o item onde temos apenas mecânica newtoniana não-relativística, as velocidades de cada um apenas se somariam, logo a velocidade de um próton em relação ao outro é:
Para achar a energia cinética pedida em , basta usarmos a equação da energia cinética dada por:
Para cada situação, na situação a velocidade já conhecemos e para o caso a velocidade que achamos em .
Para o item bem dizer é a mesma coisa só que com a equação tradicional da energia cinética, dada por:
Para o caso vamos usar a velocidade que já conhecemos e para o caspo vamos usar a velocidade que encontramos no passo ainda .
Uma informação útil para gente é massa de repouso do próton.
Passo 2
Vamos encontrar a velocidade entre os prótons, temos:
Substituindo (indicando que e move para a esquerda) e .
Então a velocidade entre os prótons é de .
Passo 3
Vemos encontrar a energia cinética pedida em , dada por:
Primeiro vamos encontrar para o caso onde temos . Então:
Substituindo os valores de e , temos:
Agora vamos encontrar para o caso onde temos . Então:
Substituindo os valores de e , temos:
Passo 4
Agora partimos para encontrar a energia cinética do item , vamos usar:
Primeiro vamos encontrar para o caso onde temos . Então:
Substituindo os valores de e , temos:
Agora vamos encontrar para o caso onde temos . Então:
Substituindo os valores de e , temos: