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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 14

Uma partícula de massa de repouso m 0 , em repouso na origem em t = 0 , é submetida a uma força constante F 0 até o instante t . (a) Calcule a posição x t da partícula. (b) Calcule o limite não-relativístico do resultado e mostre que concorda com a previsão da mecânica newtoniana. (c) Calcule x t no limite de tempos muito longos.

Passo 1

  1. Vamos aplicar a relação fundamental:

    2. F = d p d t F 0 = d d t γ m 0 v d γ m 0 v = F 0   d t ∫ v = 0 v d γ m 0 v = ∫ 0 t F 0 d t γ m 0 v = F 0 t v 1 - v 2 / c 2 = F 0 t m 0 v 2 = F 0 t m 0 2 1 - v 2 c 2 v 2 1 + F 0 t m 0 c 2 = F 0 t m 0 2 v = F 0 t / m 0 1 + F 0 t m 0 c 2

    Para obtermos a posição, basta notar que x = d v / d t . Logo,

    d x = F 0 t / m 0 1 + F 0 t m 0 c 2 d t ∫ 0 x d x = ∫ 0 t F 0 t / m 0 1 + F 0 t m 0 c 2 d t

    Para calcularmos essa integral, façamos a substituição de variável:

    u 2 = 1 + F 0 m 0 c 2 t 2 2 u   d u = 2 F 0 m 0 c 2 t   d t

    Assim, segue que:

    x = m 0 c 2 F 0 ∫ 1 1 + F 0 m 0 c t 2 u   d u u 2 x = m 0 c 2 F 0 ∫ 1 1 + F 0 m 0 c t 2 d u x = m 0 c 2 F 0 1 + F 0 t m 0 c 2 - 1

    é a posição do objeto em função do tempo!

    Passo 2

  2. O caso limite ocorre quando F 0 t m 0 c ≪ 1 . Podemos utilizar a aproximação 1 + x n = 1 + n x para x ≪ 1 . Assim,

    3. x t = m 0 c 2 F 0 1 + F 0 2 t 2 m 0 2 c 2 1 2 - 1 ≈ m 0 c 2 F 0 1 + 1 2 F 0 2 t 2 m 0 2 c 2 - 1 x t = 1 2 F 0 m 0 t 2 que concorda perfeitamente com o resultado obtido na mecânica clássica!

    Passo 3

  3. Para t → ∞ , temos

x t → ∞ = lim t → ∞ ⁡ m 0 c 2 F 0 1 + F 0 2 t 2 m 0 2 c 2 - 1

Para t tão grande, podemos dizer que F 0 t ≫ m 0 c . Sendo assim, 1 + F 0 2 t 2 m 0 2 c 2 ≈ F 0 2 t 2 m 0 2 c 2 . Logo,

x t → ∞ = m 0 c 2 F 0 F 0 t m 0 c - 1 ≈ m 0 c 2 F 0 F 0 t m 0 c = c t

Resposta

  1. x t = m 0 c 2 F 0 1 + F 0 t m 0 c 2 - 1 .
  2. x t = 1 2 F 0 m 0 t 2 .
  3. x t → ∞ = c t .
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