Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 24.Exercícios - Ex. 64
O cilindro interior de um longo capacitor cilíndrico possui raio e densidade linear de carga . Em torno dele, há uma casca condutora cilíndrica coaxial de raio interno e densidade linear de carga (veja a Figura ). Qual é a densidade de energia na região entre os condutores a uma distância do eixo? Integre a densidade de energia calculada
na parte sobre o volume entre os condutores em um comprimento do capacitor para obter a energia total do campo elétrico por unidade de comprimento. Use a Equação e a capacitância por unidade de comprimento calculada no Exemplo (Seção ) para calcular . Seu resultado concorda com o obtido na parte ?
Passo 1
Vem comigo que a gente dá conta dessa!
Para esse problema temos que lembrar que a densidade de energia é dada por:
Para esse problema também temos que saber o comportamento do campo elétrico nesse sistema. Considerando a distribuição de carga dada pelo enunciado, temos que:
:
:
Esse é o campo de um fio infinito com densidade linear de carga .
:
No item o enunciado fala para usarmos a equação dada por:
E a capacitância por unidade de comprimento calculada no Exemplo , dada por:
Para calcularmos .
Vamos as contas!
Passo 2
Vamos começar com o item .
Temos que:
Como só temos campo em , ficamos com:
Passo 3
Agora vamos para o item .
O enunciado quer que calculemos a seguinte integral:
No nosso caso temos que , assim:
Disso vamos obter depois basta dividir por para encontrar a energia por unidade de comprimento. Assim:
Assim temos que:
Dividindo os dois lados, temos:
Passo 4
Agora vamos para o item .
Temos que a energia no capacitor é dada por:
E que a capacitância por unidade de comprimento é:
Juntando os dois temos:
Agora usando o fato de que , assim temos:
Esse é o mesmo resultado que encontramos em .
Resposta
O que encontramos está de acordo com o item .