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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 31.Problemas - Ex. 64

64 - Largura da ressonância. Considere um circuito R-L-C em série com um indutor de 1,80   H , um capacitor de 0,900   μ F e um resistor de 300 Ω . A fonte possui uma voltagem eficaz V q m = 60 V e uma frequência angular variável ω .

  1. Qual é a frequência angular de ressonância ω , do circuito?
  2. Qual é o valor eficaz que passa no circuito I q m na ressonância?
  3. Quais são os dois valores, ω 1 e ω 2 , da frequência de ressonância para os quais a corrente eficaz é igual à metade do valor da corrente durante a ressonância?
  4. O valor ω 1 - ω 2 define a largura da ressonância. Calcule I q m e a largura da ressonância para R =   300 Ω , 30 Ω e 3 Ω . Discuta como seus resultados se comparam com os resultados da Seção 31.5. 31.65

Passo 1

L e t r a   A :

ω = 1 L C   →

ω = 1 1,80 ⋅ 0,9 ⋅ 10 - 6   →

ω = 786   r a d / s

Passo 2

L e t r a   B :

Ra, a corrente vai ser máxima quando estivermos falando da ressonância. Então...

I m á x = V R = 60 300 =

0,20   A

Passo 3

L e t r a   C :

Poxa queremos estudar e encontrar os valores das frequências que equivaler 1 / 2 da corrente máxima...

I = I m á x 2 = 0 , 1

I = V R 2 + ω L - 1 ω C 2     →

Logo...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 = V I = 360000

Tirando o quadrado dos dois lados...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 360000   →

ω L - 1 ω C 2 = 360000 - 300 2     →

Agora extraindo a raiz e colocando o lado esquerdo sob uma única fração...

ω L - 1 ω C = 360000 - 300 2   →

ω 2 C L - 1 ω C = 519,61   →

ω 2 C L - 1 = 519,61 ω C     →

ω 2 C L - 519,61 ω C     - 1 = 0   →

ω 2 - 519,61 L ω     - 1 C L = 0   →

Substituindo C L ...

ω 2 - 519,61 1,8 ω     - 1 0,9 ⋅ 10 - 6 ⋅ 1,8 = 0   →

ω 2 - 288,33 ω     - 617283,95 = 0   →

Podemos agora resolver essa equação por báskara onde vamos obter...

ω 1 = 943     r a d / s

ω 2 = 654   r a d / s

Passo 4

L e t r a   D :

A largura de banda para R = 300 Ω é então dado por...

ω 1 - ω 2 = 289   r a d / s

Para R = 30 Ω devemos calcular tudo de novo, afinal a corrente vai mudar assim como os ω 1 e ω 2 . Vamos nessa?

Passo 5

Calculando para R = 30 Ω :

Como a única coisa que mudou aqui em relação aos cálculos passados foi a resistência, a corrente RMS de ressonância também mudará...

I q m = V R   →

I q m = 60 30 = 2 A

Ora, estamos buscando os valores de ω 1 e ω 2 que correspondem as frequências para a metade da corrente I q m : I = 1 A . Como sabemos que...

I = V R 2 + ω L - 1 ω C 2     →

Logo...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 = V I = 60 1 = 60

Tirando o quadrado dos dois lados...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 3600   →

ω L - 1 ω C 2 = 360 0 - 30 2     →

Agora extraindo a raiz e colocando o lado esquerdo sob uma única fração...

ω L - 1 ω C = 360 0 - 3 0 2   →

ω 2 C L - 1 ω C = 51 , 961   →

ω 2 C L - 1 = 51,9 61 ω C     →

ω 2 C L - 51,9 61 ω C     - 1 = 0   →

ω 2 - 51,9 61 L ω     - 1 C L = 0   →

Substituindo C L ...

ω 2 - 51,9 61 1,8 ω     - 1 0,9 ⋅ 10 - 6 ⋅ 1,8 = 0   →

ω 2 - 28,87 ω     - 617283,95 = 0   →

Podemos agora resolver essa equação por báskara onde vamos obter...

ω 1 = 800,24   r a d / s

ω 2 = 771,37   r a d / s

Então...

ω 1 - ω 2 = 28,63   r a d / s

Passo 6

Calculando para R = 3 Ω :

Como a única coisa que mudou aqui em relação aos cálculos passados foi a resistência, a corrente RMS de ressonância também mudará...

I q m = V R   →

I q m = 60 3 = 20 A

Ora, estamos buscando os valores de ω 1 e ω 2 que correspondem as frequências para a metade da corrente I q m : I = 10 A . Como sabemos que...

I = V R 2 + ω L - 1 ω C 2     →

Logo...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 = V I = 60 10 = 6

Tirando o quadrado dos dois lados...

R 2 + ω L - 1 ω C 2 = 36   →

ω L - 1 ω C 2 = 36 - 3 2     →

Agora extraindo a raiz e colocando o lado esquerdo sob uma única fração...

ω L - 1 ω C = 36 - 3 2   →

ω 2 C L - 1 ω C = 27   →

ω 2 C L - 1 = 27 ω C     →

ω 2 C L - 27 ω C     - 1 = 0   →

ω 2 - 27 L ω     - 1 C L = 0   →

Substituindo C L ...

ω 2 - 27 1,8 ω     - 1 0,9 ⋅ 10 - 6 ⋅ 1,8 = 0   →

ω 2 - 15 ω     - 617283,95 = 0   →

Podemos agora resolver essa equação por báskara onde vamos obter...

ω 1 = 793,20   r a d / s

ω 2 = 796,08   r a d / s

Então...

ω 1 - ω 2 = 2,8   r a d / s

Percebemos então que a largura de banda decresce com um fator de 10 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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