63 - A corrente em um circuito varia com o tempo como indicado na Figura 31.28. Calcule a corrente média e o valor eficaz (ou valor quadrático médio) da corrente em termos de I 0 .

Passo 1

Ora, perceba que a função é periódica de período τ (é a retinha de τ / 2 até 3 τ / 2 que se repete todo o tempo)!

Precisamos descrever essa função corrente, para isso vamos descrever a retinha que vai de τ / 2 até 3 τ / 2 . Para uma reta, precisamos de 2 pontos:

i = a t + b

Precisamos de 2 pontos conhecidos para determinar o valor de a e b . No nosso caso os pontos são os de extremo da retinha:

τ 2 ,   - I 0       e           3 τ 2 ,   I 0

Então...

τ 2 ,   - I 0   →       - I 0 = a τ 2 + b

3 τ 2 ,   I 0   →       I 0 = 3 a τ 2 + b

Multiplicando a de cima por - 1 e somando as duas equações...

3 a τ 2 - a τ 2 = 2 I 0     →

a τ = 2 I 0     →           a = 2 I 0 τ

Quanto ao b ...

b = I 0 - 3 a τ 2   →

b = I 0 - 3 2 I 0 τ τ 2 =

I 0 - 3 I 0 = - 2 I 0

Então a nossa retinha é...

i = a t + b →

i = 2 I 0 τ t - 2 I 0

Passo 2

Ora, a corrente média é definida como sendo...

i m é d = 1 t 2 - t 1 ∫ t 1 t 2 i   d t

Onde t 2 - t 1 é o valor do período da nossa função, onde no nosso caso t 1 = τ / 2 e t 2 = 3 τ / 2 . Mas no nosso caso, nem precisamos calcular, pois pelo desenho dá para perceber que...

De t 1 a t 2 , a função i está perfeitamente simétrica em relação ao eixo que passa por τ , de modo que quando integrarmos vamos obter 0 :

i m é d = 0

Passo 3

Já para obter o valor eficaz...

i q m = 1 t 2 - t 1 ∫ t 1 t 2 i 2   d t

E agora o resultado deixa de ser 0 já que estamos integrando i 2 e não mais i (o gráfico de i 2 não tem partes negativas). Logo, substituindo...

i q m 2 = 1 3 τ 2 - τ 2 ∫ τ 2 3 τ 2 2 I 0 τ t - 2 I 0 2   d t

Se fizermos a substituição...

a = 2 I 0 τ t - 2 I 0     →             d a = 2 I 0 τ d t

τ 2 I 0 ∫ a 2 d a = τ 2 I 0 a 3 3

Então...

i q m 2 = 1 3 τ 2 - τ 2 τ 6 I 0 2 I 0 τ t - 2 I 0 3 τ 2 3 τ 2     →

Substituindo os limites...

i q m 2 = 1 τ τ 6 I 0 2 I 0 τ 3 τ 2 - 2 I 0 3 - 2 I 0 τ τ 2 - 2 I 0 3     →

i q m 2 = 1 6 I 0 3 I 0 - 2 I 0 3 - I 0 - 2 I 0 3     →

i q m 2 = 1 6 I 0 I 0 3 - - I 0 3     →

i q m 2 = 1 6 I 0 2 I 0 3     →

i q m 2 = I 0 2 3 →

Portanto, o valor i de RMS é...

i q m = I 0 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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