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Enunciado

Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 43.Problemas - Ex. 64

64. Mostre que a Equação ( 43.17 ) pode ser escrita na forma N t = N 0 1 2 n , onde n = t / T 1 / 2 , é o número de meias-vidas decorridas a partir do instante t = 0 . (Essa relação é válida mesmo quando n não é um número inteiro.)

Passo 1

Esse problema só quer que fiquemos brincando com a equação 43.17 , até chegar onde ele quer, mas para isso teremos que usar uma outra equação também para encaixarmos o tempo de meia vida.

Então teremos a equação 43.17 , dada por:

N t = N 0 e - λ t

E a equação 43.18 , dada por:

T 1 / 2 = ln ⁡ 2 λ

Agora é só juntar essas informações e usar as propriedades do l n ao nosso favor.

Passo 2

Temos então o seguinte:

N t = N 0 e - λ t

Agora isolando λ na segunda equação temos:

λ = ln ⁡ 2 T 1 / 2

Substituindo uma equação na outra temos que:

N t = N 0 e - ln ⁡ 2 / T 1 / 2 t

Arrumando de uma forma mais agradável, temos:

N t = N 0 e - ln ⁡ 2 ( t / T 1 / 2 )

Agora podemos separar a exponencial da seguinte forma:

e - ln ⁡ 2 ( t / T 1 / 2 ) = e - ln ⁡ 2 t / T 1 / 2

Ou melhor ainda, podemos mandar aquele sinal negativo para dentro do l n e lembrando que l n é a função inversa da exponencial, assim ficamos com:

e - ln ⁡ 2 = e ln ⁡ 1 / 2

= 1 2

Então no colocando isso na nossa equação, temos:

N t = N 0 1 2 t / T 1 / 2

E fazendo n = t / T 1 / 2 , temos:

N t = N 0 1 2 n

Resposta

N t = N 0 1 2 n

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