Enunciado
Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 43.Problemas - Ex. 65
65. Somos poeira de estrelas. Em 1952, linhas espectrais do elemento tecnécio-99 foram descobertas em uma estrela gigante vermelha. Gigantes vermelhas são estrelas antigas, muitas vezes de cerca de de anos e perto do fim de suas vidas. O tecnécio não tem isótopos estáveis, e a meia-vida do 99Tc é . Durante quantas meias-vidas o 99Tc esteve na estrela gigante vermelha, se a sua idade é ? Que fração do 99Tc original restaria ao final desse tempo? Essa descoberta foi extremamente importante, pois forneceu provas convincentes da teoria (agora considerada verdadeira) de que a maioria dos átomos mais pesados do que o hidrogênio e o hélio foram criados dentro de estrelas por meio da termofusão nuclear e outros processos nucleares. Se o 99Tc fizesse parte da estrela desde que ela nasceu, a quantidade remanescente após seria tão pequena que não seria detectável. Essa informação levou o falecido astrônomo Carl Sagan a declarar que “somos poeira de estrelas”.
Passo 1
Então galera vamos lá!
Para achar quantas meias-vidas o esteve presente na estrela, basta dividir a idade dele pelo tempo de meia-vida, pois assim saberemos quantas meias-vidas tem nesse período.
Agora para achar a fração do original no final desse tempo teremos que usar a seguinte equação:
Onde temos que (repare que é o que vamos calcular em ).
Mas só estaremos interessados no termo da equação, já que ele nos dá a fração do que é a quantidade original de .
Passo 2
Vamos então calcular a quantas meias-vidas o está presente na estrela, temos:
Vamos deixar isso de uma forma mais sofisticada, temos:
Passo 3
Agora vamos encontrar a fração de que sobrou da quantidade original, como falei no passo essa fração é dada pela seguinte expressão:
Onde vai ser igual ao valor que encontramos em , temos então:
Como você pode ver esse expoente é muito grande para ser calculado em uma calculadora normal, então vamos deixá-lo nessa forma.