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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 28.Problemas - Ex. 71

71- Um fio retilíneo longo com seção reta circular de raio R conduz uma corrente I . Suponha que a densidade de corrente não seja constante ao longo da seção reta do fio, porém varie de acordo com a relação J = α r , em que α é uma constante.

( a ) Sabendo que a integral de J ao longo da seção reta do fio fornece a corrente total I , determina a constante α em termos de I e de R .

( b ) Use a lei de Ampere para determinar o campo magnético B ( r ) para i   r ≤ R ; ( i i ) r ≥ R . Forneça suas respostas em função de I .

Passo 1

Como J = I A então I = J A , logo o elemento de corrente d I varia de acordo com A , pois para a corrente J sempre será constante, então:

d I = J   d A

Porém J = α r , logo:

d I = α r   d A

Integrando em r de 0 até R onde d A = 2 π r   d r (pois é a derivada da área de um círculo) teremos:

I = ∫ 0 R α r   2 π r d r = 2 π α ∫ 0 R r 2   d r

I = 2 π a r 3 3 0 R = 2 π α R 3 3

Então α será:

α = 3 I 2 π R 3

Passo 2

Aplicando a lei de Ampere para r ≤ R temos:

B ⋅ 2 π r = μ 0 ⋅ 2 π a ∫ 0 r r 2   d r

Onde sabemos o valor de α .

2 π r B = 2 π 3 I 2 π R 3 μ 0 r 3 3     - 0

B = I μ 0 2 π r r 3 R 3

B = I μ 0 2 π r R 3 ( r 3 )

B = μ 0 I r 2 2 π R 3

Passo 3

Como o raio só vai até R e r > R então o campo elétrico será puro e simplesmente:

Pela lei de Ampere nós teremos:

B ⋅ 2 π r = μ 0 I

B = μ o I 2 π r

Pois temos toda a corrente I (sem a necessidade de ficar vendo a corrente proporcional a área) em cima do fio e a superfície de interesse terá comprimento 2 π r .

E se r = R teremos:

B = μ 0 I 2 π R

Resposta

a )   α = 3 I 2 π R 3

b )   i B = μ 0 I r 2 2 π R 3 ; i i B = μ o I 2 π r

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