75. Uma demonstração do efeito da indutância. Uma demonstração comum para o efeito da indutância utiliza um circuito semelhante ao indicado na Figura . A chave é fechada, e a lâmpada incandescente (representada pela resistência ) possui um brilho muito fraco. Depois de certo tempo, a chave é aberta e a lâmpada brilha fortemente durante um breve intervalo de tempo. Para entender esse efeito, imagine um indutor como um dispositivo capaz de usar um efeito de inércia para ‘segurar’ a corrente, impedindo que ocorra uma variação descontínua de corrente através dele. Deduza funções explicitas do tempo para (a corrente que passa através da lâmpada) e para (a corrente que passa através do indutor) logo depois que a chave é fechada. Após um tempo muito longo, as correntes e atingem seus valores estacionários finais. Obtenha expressões para esses valores estacionários. A seguir, a chave é aberta. Deduza funções explícitas do tempo para a corrente que passa através da lâmpada e para a corrente que passa través do indutor. Você foi contratado para projetar um dispositivo experimental para fazer essa demonstração usando um circuito indicado na Figura , com um indutor de e uma lâmpada de . Você deve conectar um resistor em série ao indutor, e representa a soma da referida resistência com a resistência interna do indutor. Quando a chave é aberta, surge uma corrente transiente que começa com e diminui até depois de . Para simplificar, suponha que a resistência da lâmpada seja constante e igual ao valor da resistência da lâmpada quando dissipa para . Determine e para as considerações do projeto. Com os valores numéricos calculados no item , qual é a corrente que passa na lâmpada logo após a abertura da chave? O resultado obtido confirma a descrição qualitativa do efeito que deve ser observado na demonstração?

Vamos começar com o item .

Quando a chave é fechada a corrente que vem da fem toma dois caminhos diferentes, um caminho é pelo resistor e outro pelo indutor .

Para facilitar a nossa vida podemos analisar esses dois percursos separadamente um do outro.

Para esses dois caminhos vamos utilizar a lei das malhas, lembrando que a diferença de potencial em um resistor e em um indutor é dada respectivamente por:

Vamos analisar o primeiro caminho, feito por , temos:

Com isso vemos que não depende do tempo.

Vamos para o segundo caminho, feito por , temos:

Isolando , temos:

Jogando tudo que tem para um lado e tudo que tem para o outro, temos:

Integrando os dois lados, ficamos com:

Aplicando exponencial nos dois lados ficamos com:

Prontinho, encontramos as duas expressões pedidas no item .

Agora partiu resolver o item .

Esse tempo muito longo mencionado no enunciado, pode ser interpretado como .

O que temos que fazer é ver como as fórmulas que encontramos no item se comportam quando vai para o infinito.

A fórmula dada por:

Como pode ser vista não depende do tempo, então ela permanece com esse mesmo valor a todo instante.

Agora para temos a seguinte fórmula:

Como pode ser visto depende do tempo, então vamos fazer .

O argumento da exponencial quando vai para o infinito também vai para o infinito, mas como temos o seguinte:

Quando temos que , logo:

Então fica da seguinte forma:

Agora partiu item .

Quando a chave é aberta meio que o circuito perde contato com a fem então podemos considerar nosso circuito apenas formado pelas resistências e pelo indutor, então só teremos uma corrente nesse circuito.

Novamente vamos aplicar a lei das malhas nesse circuito da mesma forma que fizemos anteriormente, mas dessa vez vamos tirar , assim ficamos com:

Jogando tudo que tem para um lado e tudo que tem para o outro, temos:

Agora vamos integrar o lado da corrente de até e o lado do tempo de até , ficamos com:

Aplicando exponencial nos dois lados ficamos com:

Prontinho, encontramos as duas expressões pedidas no item .

Vamos em direção a resolução do item .

Primeiro vamos nos localizar nas informações que são fornecidas.

Ele nos fornece o valor da indutância , temos que a resistência da lâmpada é como se fosse nosso e podemos encontrar seu valor através da seguinte fórmula para potência:

Como o enunciado nos dá o valor da potência e da voltagem , basta isolar e achar seu valor.

O enunciado também diz que temos uma corrente transiente de , essa corrente nada mais é que o nosso que usamos no item que é a corrente inicial que sobra depois que a chave é aberta e sabemos que:

Bem, já temos uma relação com as duas coisas que queremos, mas precisamos de mais alguma coisa para encontrar esses valores. Utilizando o resultado item

Podemos encontrar através dessa fórmula, já que o enunciado nos dá o valor da corrente para um certo valor de , como conhecemos e podemos calcular conseguimos o valor de , depois basta usar na fórmula do e encontrar .

Agora vamos para o passo seguinte para fazer as contas, se não esse fica muito grande.

Vamos começar achando o valor de , temos:

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

Então temos que:

Agora vamos usar a fórmula para a corrente, temos:

Substituindo os valores conhecidos, ficamos com:

Aplicando nos dois lados, ficamos com:

Isolando , ficamos com:

Tendo esse valor agora é só a gente usar aquela fórmula para , temos:

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

Agora por último vamos achar o que é pedido no item .

Bem, logo depois que a chave é aberta o próprio item fala que a corrente transiente é , então essa é a corrente que passa pela lâmpada.

Mas porque ocorre o brilho mais intenso?

Para responder isso temos que saber a corrente que passa antes da abertura da chave, e para isso podemos usar a seguinte fórmula que encontramos no passo .

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

Como podemos ver corrente passa de para , rapidamente, por isso temos esse brilho na lâmpada.