80- Três cargas puntiformes são distribuídas ao longo do eixo O y ; uma carga q no ponto y = - a , uma carga - 2 q na origem e uma carga q   no ponto y = a . Esse arranjo é chamado de quadrupolo elétrico

( a ) Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico nos pontos positivos sobre o eixo x .

( b ) Use a série binomial para obter uma expressão aproximada para o campo elétrico válido para x ≫ a . Compare esse comportamento ao campo elétrico produzido por uma carga puntiforme e ao campo produzido por um dipolo elétrico.

Passo 1

A questão ficou esquisita, na real é uma carga q   em y = - a , outra carga q em y = a e uma carga - 2 q na origem. Considerando que queremos saber o campo elétrico em um ponto no eixo x qualquer nós temos o seguinte sistema.

Onde o valor de r será:

r = x 2 + a 2

E o valor do campo elétrico E 1 é causada pela carga em y = a e o valor de E 2 é pela carga em y = - a e o campo E 3 é causada pela carga em - 2 q , e seu valores serão iguais a:

E 1 = E 2 = 1 4 π ϵ 0 q r 2 = q 4 π ϵ 0 x 2 + a 2 2 = q 4 π ϵ 0 ( x 2 + a 2 )

E 3 = 1 4 π ϵ 0 2 q x 2

A parcela em y do campo elétrico total será anulada pois os valores de θ são iguais para E 2 e E 1 (pois são os únicos vetores que tem parcela em y ) e o valor total será em x e será:

E x = E 3 - 2 E 2 cos ⁡ θ

Ou seja:

E x = 1 4 π ϵ 0 2 q x 2 - 1 4 π ϵ 0 2 q x 2 + a 2 x x 2 + a 2

Então:

E x = 2 q 4 π ϵ 0 1 x 2 - x x 2 + a 2 3 2

Pois consegue-se notar que o campo E 3   é maior que a parcela em x causada pelas partículas de carga q . Então o campo elétrico resultante será da direita para a esquerda. Agora isolando 1 / x 2 dentro do parênteses nós teremos:

E x = 2 q 4 π ϵ 0 x 2 1 - x 3 x 2 + a 2 3 2

E x = 2 q 4 π ϵ 0 x 2 1 - x x 2 + a 2 1 2 3

E x = 2 q 4 π ϵ 0 x 2 1 - 1 1 + a 2 x 2 3 2

Sentido no eixo x

Passo 2

Nós podemos escrever o campo elétrico da seguinte forma:

E x = 2 q 4 π ϵ 0 x 2 1 - 1 + a 2 x 2 - 3 2

Pela série binomial nós teremos que:

1 + a 2 x 2 - 3 2 = 1 - 3 a 2 2 x 2 - - 3 2 - 1 2 ! a 2 x 2 2 + …

Só que como x ≫ a então podemos utilizar somente o primeiro termos de modo que teremos:

E x = 2 q 4 π ϵ 0 x 2 1 - 1 - 3 a 2 2 x 2

E x = 6 q a 2 8 π ϵ 0 x 4 = 3 q a 2 4 π ϵ 0 x 4

Se x é muito grande então o campo elétrico tende a zero.

Resposta

a )   E x = 2 q 4 π ϵ 0 x 2 1 - 1 1 + a 2 x 2 3 2 ; ←

b )   E = 3 q a 2 4 π ϵ 0 x 4

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