Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 83
83. Dois corpos puntiformes de massa são mantidos a uma distância um do outro. Outro corpo puntiforme de massa está a meio caminho entre eles. é então deslocado de uma pequena distância perpendicular à linha que une os dois corpos fixos e é libertado. Mostre que o módulo da força gravitacional resultante sobre exercida pelos corpos fixos é dada aproximadamente por , se . Qual é a direção e o sentido dessa força? Trata-se de uma força restauradora ou não? Mostre que a massa irá oscilar com frequência angular e período . Qual seria o período se e ? Será que você poderia medir facilmente esse período? O que impede que esse experimento seja facilmente executado em um laboratório de física comum? oscilará se for deslocada do centro de uma pequena distância no sentido de qualquer um dos corpos fixos? Por quê?
Passo 1
Vamos primeiro escrever a fórmula da força gravitacional entre dois pontos que é dada por:
Nesse problema, temos duas massas iguais atraindo a massa , logo a força entre e cada uma dessas massas é igual.
Quando puxamos a massa na vertical de uma distância poderemos decompor as forças realizadas pelas massas menores nas direções e . Na direção as forças têm módulos iguais mais apontam em direções opostas, logo se cancelam, na direção as duas forças apontam para baixo com o mesmo módulo, logo se somam.
Quando puxamos a massa a direção da força faz um ângulo com a horizontal, assim a componente vertical da força que é a que estamos interessados, é dada por:
A distância que é a distância da massa até a uma das massas pode ser encontrada usando Pitágoras, da seguinte forma:
Mas no enunciado fala para considerarmos muito pequeno em relação a , então:
Na nossa situação temos que:
Só que para consideração de muito pequeno, temos que também é muito pequeno, assim temos a seguinte igualdade:
Agora só temos que substituir isso na expressão da força gravitacional.
Em uma geralmente temos como parâmetro de força restauradora
Comparando com a força que temos no item , temos a seguinte relação:
E em um , temos que:
Sendo que:
Substituindo o que deduzimos nessa expressão, ficamos com:
Assim:
Com isso já provamos o que é pedido no item .
Agora para resolver o item basta substituir os valores que conhecemos e os que são fornecidos nesse item, nessa equação que chegamos.
Passo 2
Vamos agora encontrar a expressão para a força gravitacional pedida no item , temos o seguinte:
Mas como já discutimos temos a contribuição de duas massas , assim temos o que:
Lembrando que:
Substituindo, temos:
Essa força atua na vertical e na posição inicial aponta para baixo.
Ela é uma força restauradora já que ela faz com que a massa realize um .
Passo 3
Agora vamos resolver o item , tendo que e que , assim temos:
Esse período é até curto para que alguém conseguisse medir, mas para realizar esse experimento as forças gravitacionais das massas deveriam ser maiores que qualquer outra força presente, como resistência do ar, atrito, entre outras, mas essas forças gravitacionais são pequenas comparadas as outras, já que temos massas pequenas, logo não seria possível realizar esse experimento em um laboratório de física comum.
Passo 4
O item nos questiona se teríamos se irá oscilar se for deslocada na direção de uma das massas pequenas.
Se é deslocado nessa direção, vamos ter uma força resultante em na direção da massa fixa no qual deslocamos , ficando assim longe da posição de equilíbrio de . E essa força resultante, não é uma força restauradora logo não irá oscilar, continuaria a ser mover na direção em que foi deslocado.
Resposta
Não seria possível realizar esse experimento em um laboratório de física comum.
A massa não irá oscilar