Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 86
86. Molécula diatômica. Dois átomos idênticos de uma molécula diatômica vibram como osciladores harmônicos. Contudo, o centro de massa situado na metade da distância entre os átomos permanece em repouso. Mostre que em qualquer instante os momentos lineares dos átomos são dados por e . Mostre que a energia cinética dos dois átomos em qualquer instante é igual à energia cinética de um único objeto de massa com um momento linear de módulo igual a . (Use .) Esse resultado mostra por que usamos na expressão de no Exemplo (Seção ). Se os átomos não forem idênticos, mas possuírem massa e , mostre que o resultado da parte ainda permanece válido e na parte a massa do único objeto é dada por . A grandeza denomina-se massa reduzida do sistema.
Passo 1
De primeira já podemos responder o item , para respondê-lo basta prestar atenção em um pequeno detalhe do enunciado, quando ele fala que o centro de massa está em repouso, sendo assim o momento total deve ser zero, assim os vetores de momento devem ter o mesmo módulo, mas direções opostas.
Para responder o item vamos usar a fórmula dada pelo enunciado, que é:
Assim os dois átomos têm essa energia, o enunciado quer que provemos que a energia desses dois átomos juntos é igual a energia de um único objeto com massa .
O argumento de ainda serve, pois para o centro de massa parecer em repouso os momentos devem ser os mesmos independentes da massa.
Para mostrar a segunda parte do item, basta fazer o mesmo processo que para o item , só que para um objeto com massa .
Passo 2
Agora vamos mostrar o que é pedido no item .
A energia cinética para os dois átomos juntos, é dada pela soma da energia de cada átomo assim a energia cinética total é:
O item quer que mostremos que isso é igual a energia de um objeto com massa , assim:
Logo temos que:
Passo 3
Agora vamos mostrar o que é pedido no item .
A energia cinética para os dois átomos juntos, é dada pela soma da energia de cada átomo assim a energia cinética total é:
Assim:
O item quer que mostremos que isso é igual a energia de um objeto com massa, assim:
Logo temos que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)