Enunciado
Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.5 - Ex. 104
A roda raiada com raio , massa e raio de giração centroidal rola sem deslizar sobre a inclinação. Determine a frequência natural de oscilação e examine os casos limites de e .
Passo 1
Uma roda desce um trajeto inclinado, enquanto é segurada por uma mola.
Dados da questão (tudo conhecido!):
- Massa da roda: .
- Raio da roda: .
- Rigidez da mola:
- Inclinação do trajeto: .
- Raio de giração em relação ao centroide: .
Queremos a frequência natural da oscilação em dois casos: e . Vamos resolver para em geral, e aí aplicamos cada valor para achar a resposta em cada caso.
Primeiro passo é achar a equação do movimento. Aí é só comparar para ver qual termo aparece como frequência natural.
Passo 2
Achar a equação do movimento é bem fácil nessa questão se pensarmos em energia. Não precisa se preocupar com inclinação nem nada disso, só considerar que o movimento ocorre ao longo do trajeto inclinado!
A energia cinética do sistema vai ser a soma da translação do centroide (a roda andando) e da rotação ao redor do centroide (a roda girando):
Nessa expressão, é a velocidade angular e é o momento de inércia no centroide. A barra é só para nos lembrar que vamos calcular esse valor usando o raio de giração .
Para a energia potencial, nós sempre temos que decidir primeiro um ponto referencial em que a energia potencial é zero. Vamos escolher esse ponto onde . Aí temos que a energia potencial elástica fica:
Agora podemos montar a equação do movimento!
Passo 3
Como não há forças externas atuando, a energia se conserva. Então a derivada dela no tempo é zero:
Agora é só comparar com a equação usual:
Aplicando chegamos em
E aplicando :
Resposta
Frequência natural com raio de giração :
Frequência natural com raio de giração :