A roda raiada com raio r , massa m e raio de giração centroidal k - rola sem deslizar sobre a inclinação. Determine a frequência natural de oscilação e examine os casos limites de k - = 0 e k - = r .

Passo 1

Uma roda desce um trajeto inclinado, enquanto é segurada por uma mola.

Dados da questão (tudo conhecido!):

  • Massa da roda: m .
  • Raio da roda: r .
  • Rigidez da mola: k .
  • Inclinação do trajeto: θ .
  • Raio de giração em relação ao centroide: k - .

Queremos a frequência natural ω n da oscilação em dois casos: k - = 0 e k - = r . Vamos resolver para k - em geral, e aí aplicamos cada valor para achar a resposta em cada caso.

Primeiro passo é achar a equação do movimento. Aí é só comparar para ver qual termo aparece como frequência natural.

Passo 2

Achar a equação do movimento é bem fácil nessa questão se pensarmos em energia. Não precisa se preocupar com inclinação nem nada disso, só considerar que o movimento x ocorre ao longo do trajeto inclinado!

A energia cinética do sistema vai ser a soma da translação do centroide (a roda andando) e da rotação ao redor do centroide (a roda girando):

K = 1 2 m x ˙ 2 + 1 2 I - ω 2

Nessa expressão, ω é a velocidade angular e I - é o momento de inércia no centroide. A barra é só para nos lembrar que vamos calcular esse valor usando o raio de giração k - .

K = 1 2 m x ˙ 2 + 1 2 m k - 2 ⋅ x ˙ r 2 = 1 2 m 1 + k - 2 r 2 x ˙ 2

Para a energia potencial, nós sempre temos que decidir primeiro um ponto referencial em que a energia potencial é zero. Vamos escolher esse ponto onde x = 0 . Aí temos que a energia potencial elástica fica:

V = 1 2 k x 2

Agora podemos montar a equação do movimento!

Passo 3

Como não há forças externas atuando, a energia se conserva. Então a derivada dela no tempo é zero:

d K + V d t = 0

m 1 + k - 2 r 2 x ˙ ⋅ x ¨ + k x ⋅ x ˙ = 0

x ¨ + k m 1 + k - 2 r 2 x = 0

Agora é só comparar com a equação usual:

x ¨ + ω n 2 x = 0

ω n 2 = k m 1 + k - 2 r 2

Aplicando k - = 0 chegamos em

ω n = k m 1 + 0 2 r 2

ω n = k m

E aplicando k - = r :

ω n = k 2 m

Resposta

Frequência natural com raio de giração k - = 0 :

ω n = k m

Frequência natural com raio de giração k - = r :

ω n = k 2 m

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