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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 30

9.30 Para t = 3,0   s , um ponto na periferia de uma roda com raio de 0,200   m possui uma velocidade tangencial igual a 50,0   m / s quando a roda está freando com uma aceleração tangencial constante com módulo igual a 10,0   m / s ². a) Calcule a aceleração angular constante da roda. b) Calcule as velocidades angulares para t   =   3,0   s e t   =   0 . c) Qual foi o deslocamento angular do giro da roda entre t   =   0   e t   =   3,0   s ? d) Em qual instante a aceleração radial torna-se igual a g ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar (a) a aceleração angular da roda, (b) as velocidades angulares para t = 3   s e t = 0 , (c) o deslocamento angular da roda nesse mesmo intervalo de tempo e (d) o instante em que a aceleração radial a r se torna igual a g .

Então queridos, para resolvermos o item a) devemos lembrar da equação que relaciona aceleração tangencial ( a t a n ) e aceleração angular ( α ) que é dada por:

α = a t a n r

Onde r é o raio.

Depois, vamos usar as equações horárias da posição e da velocidade, assim como, as relações entre velocidade linear e angular e determinar o que se pede.

Vamos lá!

Passo 2

Pelo enunciado, sabemos que a t a n = - 10   m / s ² já que estamos lidando com uma aceleração que está freiando o movimento giratório. Sendo o r a i o   =   0,200   m , fica fácil achar a aceleração angular:

α = - 10   m / s ² 0,200   m

α = - 50   r a d / s ²

Que é o valor da aceleração angular que deverá ser constante até freiar o movimento.

Passo 3

Pela relação entre velocidade tangencial e velocidade angular teremos:

ω = v t a n r

Onde r é o raio.

O item b) pede a velocidade angular para o instante de t   =   3,0   s . Mas vale lembrar que o enunciado nos fornece o valor da velocidade tangencial v t a n = 50   m / s . Portanto podemos facilmente encontrar a velocidade angular ω para t   =   3,0   s :

ω = 50   m / s 0,200   m

ω = 250   r a d / s

Ainda precisamos encontrar a velocidade angular para t = 0 s, do qual chamaremos de ω 0 já que trata de um valor fixo e inicial. Amores, neste momento precisamos lembrar que existe uma função horária da velocidade angular que descreve o movimento circular para uma aceleração angular constante. Essa função será:

ω t = ω 0 + α t

Para achar ω 0 vamos explicitá-lo e aplicar os valores já conhecidos de ω ( t ) t = 3,0 s:

ω 0 =   ω t -   α t

ω 0 = 250   r a d / s   - ( - 50   r a d / s ) ( 3,0 s )

ω 0 =   400   r a d / s

Passo 4

Agora vamos resolver o item c).

De inicio devemos lembrar da função horária da posição angular que é dada por:

θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 α t ²

O deslocamento angular (que chamaremos de ∆ θ ) é dado por uma variação da posição angular ∆ θ = θ 0 - θ f . Pela função horária acima, teremos:

∆ θ = ω 0 t + 1 2 α t ²

Prontinho, agora é só substituirmos os valores já conhecidos ω 0 e α para ∆ t = 3,0   s - 0   s = 3,0   s . Então:

∆ θ = ( 400   r a d / s ) ( 3,0   s ) + 1 2 ( - 50   r a d / s ² ) ( 3,0   s ) ²

∆ θ = 975   r a d

Que convertendo para revoluções, chegamos em

∆ θ = 155   r e v

Passo 5

Por fim, para solucionarmos o item d), devemos lembrar que a aceleração radial é dada por:

a r a d = v ² r

O enunciado quer saber o instante de tempo em que podemos considerar a r a d = g = 9,8   m / s ²   . Uma maneira de encontrarmos esse instante de tempo é antes, encontrarmos a velocidade em que a r a d = g . Ou seja:

v 2 = a r a d r

v = a r a d r

Sabendo que a r a d = 9,8 m/s² e   r = 0,200   m

v = ( 9,8   m / s 2 ) ( 0,200   m )

v = 1,40   m / s

Dado esta velocidade. Podemos aplicar na função horaria da velocidade para uma aceleração tangencial constante e explicitarmos o instante de tempo t:

v = v 0 + a t a n t

t = v - v 0 a t a n

A nossa velocidade tangencial v 0 pode ser encontrada através do valor da velocidade angular inicial ω 0 =   400   r a d / s já encontrado no item b):

v 0 = ω 0 r

v 0 = ( 400   r a d / s ) ( 0,200 m )

v 0 = 80   m / s

Agora que conhecemos todos os valores é só substituirmos e acharemos o instante de tempo:

t = 1,40   m / s - 80   m / s - 10   m / s ²

t = 7,86 s

Será o tempo em que a r a d = g .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) α = - 50   r a d / s ²

b) ω = 250   r a d / s e ω 0 =   400   r a d / s

c)   ∆ θ = 155   r e v

d) t = 7,86 s

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