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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 31

9.31 Os ciclos de rotação de uma máquina de lavar possuem duas velocidades angulares, 423 rev/min e 640 rev/min. O diâmetro interno do tambor é igual a 0,470 m. a) Qual é a razão entre a força radial máxima sobre a roupa, quando a velocidade angular é máxima, e a força radial, quando a velocidade angular é mínima? b) Qual é a razão da velocidade tangencial máxima da roupa quando a velocidade angular é máxima e quando a velocidade angular é mínima? c) Calcule, em função de g, a velocidade tangencial máxima da roupa e a aceleração radial máxima.

Passo 1

De inicio devemos ter em mente que a força radial que a máquina exerce sobre as roupas será:

F r a d = m a r a d = m v t a n ² r

Pelo enunciado, nos é dito que os ciclos de rotação possuem:

v t a n M Á X = r ( 640   r e v / m i n )

v t a n M I N = r ( 423   r e v / m i n )

Os valores de massa e raio permanecem os memos durante os ciclos. Sendo assim, o que definirá uma força radial ser máxima ou mínima serão as velocidades radiais:

F r a d M Á X = m v t a n M Á X ² r

F r a d M I N = m v t a n M I N ² r

Portanto a razão entre essas forças, procurada no item a), será:

F r a d M Á X F r a d M I N = m v t a n M Á X ² r m v t a n M I N ² r

Podemos perceber que as massas m e os raios r se cancelam. Então chegaremos em uma expressão final e após substituir os valores, encontraremos a razão desejada:

F r a d M Á X F r a d M I N = v t a n M Á X ² v t a n M I N ²

F r a d M Á X F r a d M I N = r ( 640   r e v / m i n ) ² r ( 432   r e v / m i n ) ²

F r a d M Á X F r a d M I N = 2,29

Atenção menines! Não é necessário convertermos as unidades de velocidades angulares de rev/min para rad/s, uma vez que a razão é admensional!

Passo 2

No item b) nos é pedido a razão entre a velocidade tangencial máxima e a velocidade tangencial mínima. Ambas as velocidades tangenciais dependem de suas respectivas velocidades angulares:

v t a n M Á X = r ( 640   r e v / m i n )

v t a n M I N = r ( 423   r e v / m i n )

Logo,

v t a n M Á X v t a n M I N =   r ( 640   r e v / m i n ) r ( 423   r e v / m i n )

v t a n M Á X v t a n M I N = 1,51

De novo! Não é necessário convertermos as unidades de velocidades angulares de ver/min para rad/s, uma vez que a razão é admensional!

Passo 3

Agora, para resolver o item c) precisamos converter os valores de ver/min para rad/s, pois precisamos encontrar o valor da velocidade tangencial. Portanto:

ω M A X = 640 r e v m i n 2 π   r a d 1   r e v 1   m i n 60   s = 67,02   r a d / s

ω M I N = 423 r e v m i n 2 π   r a d 1   r e v 1   m i n 60   s = 44,29   r a d / s

Já que o diâmetro é 0,470 m o raio será r = 0,235 m.

Como mencionado nos passos anteriores a velocidade tangencial máxima será dada por:

v t a n M A X = r ω M A X = ( 0,235   m ) ( 67,02   r a d / s ) = 15,75   m / s

A aceleração radial máxima será dada por:

a r a d M A X =   v t a n M A X ² r

Portanto, encontraremos

a r a d M A X =   ( 15,75   m / s ) ² 0,235   m

O que dará aproximadamente

a r a d M A X =   1060   m / s 2

Mas o item pede a a r a d M A X em função de g = 9,8 m/s² não é mesmo?

a r a d M A X =   1060   m / s 2 9,8   m / s ² = 108

Portanto a r a d M A X pode ser reescrita como:

a r a d M A X =   108 g

Resposta

a) F r a d M Á X F r a d M I N = 2,29

b) v t a n M Á X v t a n M I N = 1,51

c) a r a d M A X = 108 g

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