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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 75

A aceleração de uma partícula é dada por a x ( t ) = - 2,0   m / s + ( 3,0   m / s 3 ) t . a) Calcule a velocidade inicial v 0 x de modo que a partícula tenha a mesma coordenada x para t = 0 s e t = 4 s . b) Qual seria sua velocidade para t = 4,0 s ?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa integral, nós temos que lembrar a aceleração é a variação da velocidade pelo tempo.

a = v - v 0 t

Isolando v , ficamos com

v = v 0 + a t

v é a velocidade, v 0 é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o tempo.

Contudo nesse problema a aceleração não é constante. Ela é função de t .

Deste modo, precisamos integrar a x t para encontrar v x t e integrar v x t para encontrar x ( t ) .

v = v 0 + ∫ 0 t a x t d t

Vamos relembrar como calcular uma integral com potencia:

∫ t n d t = t n + 1 n + 1

Passo 2

  1. O problema forneceu a equação de a x ( t )

a x t = - 2,0 m s + 3,0 m s 2 t

Vamos representa-la de forma genérica, como sendo

a x t = α + β t

Onde α = - 2,0   m / s e β = 3,0   m / s 2 .

Agora vamos para integral

v x = v 0 + ∫ 0 t a x t d t

= α + β t d t

= v 0 + α t + β t 2 2

Feito! Agora integramos de novo para achar a posição,

x = x 0 + ∫ 0 t v x   d t

= x 0 + ∫ 0 t v 0 + α t + β t 2 2

x = x 0 + v 0 t + α t 2 2 + β t 3 3

Em t = 0 ⇒ x = x 0 .

Passo 3

Temos x = x 0 em t = 4 s , isso implica que:

v 0 t + α t 2 2 + β t 3 3 = 0

Então,

v 0 = - 1 6 β t 2 - 1 2 α t

= - 4 s + - 2 m s 2 ⋅ t + 1 2 3 m s 3 ⋅ 4 s

= 4 m / s

Passo 4

Com v 0 = 4 m / s calculado no item (a), podemos substituir na equação

v x = v 0 + α t + β t 2 2

que encontramos a partir da integração da função:

v x = v 0 + α t + β t 2 2

= - 4 m s + - 2 m s 2 ⋅ 4 s + 3 m s 3 ⋅ 4 s 2 2

= 12 m / s

Resposta

  1. v 0 = 4 m / s
  2. v x = 12 m / s
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