Ache a tensão em cada corda na Figura 5.44 , sabendo que o peso suspenso é p .

Passo 1

Fala galera! Beleza?! Bora resolver essa questão!

Temos dois casos onde um peso está sendo suspenso por cabos e queremos calcular o valor desse peso p .

Em cada caso, vamos fazer um diagrama de forças, considerando o sistema em equilíbrio para usar a segunda lei de Newton na forma:

∑ F = 0

Então, somando as forças presentes no sistema, vamos obter o valor de p .

Vamos lá!

Passo 2

Começando pela letra a!

a ) Temos um fio preso por dois pontos fixos em uma mesma horizontal e um peso preso no fio. Abaixo o diagrama de forças:

O nó (ponto roxo) que surge das intersecções dos fios é o que estamos analisando nesse diagrama. A força do fio A está representada em azul, a do fio B em vermelho e do fio C em verde. O ângulo com que o fio B faz com a vertical é 45 ° , já o fio A é 60 ° . O sistema está em equilíbrio, então a soma das forças (em cada direção) é zero.

Vamos chamar a tensão do fio A de T A , do fio B de T B e do fio C de T C .

Assim, na direção vertical temos:

T A cos ⁡ 60 ° + T B cos ⁡ 45 ° - T C = 0

E na direção horizontal, temos:

T A sin ⁡ 60 ° - T B sin ⁡ 45 ° = 0

Poxa! Mas aqui temos um sistema com 3 variáveis e apenas duas equações.

Passo 3

Vamos pensar uma coisa! O enunciado nos disse que o peso é suspenso (ou seja: forças em equilíbrio) e que o peso é p ! Aha! Aqui está a informação chave!

Olhando apenas para o objeto suspenso temos duas forças agindo sobre ele: a força peso P que é vertical para baixo e a força tensora do cabo C , T C que é vertical para cima! Tá, mas e daí? Daí que podemos então determinar a tensão no cabo C somando essas forças:

T C - P = 0

T C = P = p

Beleza! Assim nosso sistema que antes tinha três variáveis passa a ter apenas duas! Saca só:

T A cos ⁡ 60 ° + T B cos ⁡ 45 ° - T C = 0 T A sin ⁡ 60 ° - T B sin ⁡ 45 ° = 0

Como T C = p , ficamos com:

T A cos ⁡ 60 ° + T B cos ⁡ 45 ° - p = 0 T A sin ⁡ 60 ° - T B sin ⁡ 45 ° = 0

Assim da segunda equação T A = T B sin ⁡ 45 ° sin ⁡ 60 ° , e substituindo na primeira:

T B sin ⁡ 45 ° sin ⁡ 60 ° . cos ⁡ 60 ° + T B cos ⁡ 45 ° - p = 0

Usando cos ⁡ 60 ° sin ⁡ 60 ° = tan ⁡ ( 60 ° ) , temos:

T B sin ⁡ 45 ° tan ⁡ 60 ° + T B cos ⁡ 45 ° = p

T B sin ⁡ 45 ° tan ⁡ 60 ° + cos ⁡ 45 ° = p

Substituindo os valores de seno e cosseno, teremos:

T B 2 2 3 + 2 2 = p

T B 2 2 3 + 2 2 = p

Racionalizando:

T B 6 6 + 2 2 = p

T B 6 + 3 2 6 = p

T B = 6 p 6 + 3 2

Logo:

T B = 0,897 p

E usando a relação para T A , obtida no passo anterior, ficamos com:

T A = T B sin ⁡ 45 ° sin ⁡ 60 °

T A = 0,897 p ∙ 2 / 2 3 / 2

Substituindo na calculadora teremos o valor de T A :

T A = 0,732 p

Passo 4

Para a situação b ) o procedimento é o mesmo. Da mesma forma que no caso anterior, a força de tensão no fio C é igual ao peso p . Mas temos que ter atenção para os ângulos formados. Segue o diagrama:

A tensão do fio A está em azul e vou chamar de T A , no fio B vou chamar de T B e está em vermelho e o fio C está em verde e a tensão nele é T C . O ângulo de T A com a vertical é 60 ° e de T B é 45 ° . Podemos decompor as forças em componentes verticais e horizontais.

Na vertical temos:

T B sin ⁡ 45 ° - T A cos ⁡ 60 ° - p = 0

Na horizontal:

T A sin ⁡ 60 ° - T B cos ⁡ 45 ° = 0

Temos um sistema com duas equações e duas incógnitas. Da segunda equação podemos isolar T A :

T A = T B cos ⁡ 45 ° sin ⁡ 60 °

E substituir na primeira equação:

T B sin ⁡ 45 ° - T B cos ⁡ 45 ° sin ⁡ 60 ° cos ⁡ 60 ° = p

Usando cos ⁡ 60 ° sin ⁡ 60 ° = tan ⁡ ( 60 ° ) , temos:

T B sin ⁡ 45 °   - cos ⁡ 45 ° tan ⁡ 60 ° = p

Calculando os valores das funções trigonométricas nos ângulos dados:

T B 2 2 - 2 2 3 = p

Jogando tudo isso na calculadora teremos:

T B = 3,35 p

E usando esse valor na expressão para T A :

T A = T B cos ⁡ 45 ° sin ⁡ 60 ° = 3,35 p cos ⁡ 45 ° sin ⁡ 60 °

T A = 2,73 p

Beleza?

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. T A = 0,732 p ; T B = 0,897 p   ; T C = p
  2. T A = 2,73 p ; T B = 3,35 p ; T C = p
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