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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 96

Acredita-se que existe um buraco negro “super massivo" no centro de nossa galáxia. Um dado que leva a esta conclusão é a importante observação recente de movimento estelar na vizinhaça do centro galáctico. Se uma dessas estrelas se move em órbita elípctica com um período de 15,2 anos e possui um semi-eixo maior de 5,5 dias-luz (a distância percorrida pela luz em 5,5 dias), qual é a massa em torno da qual a estrela se move nesta órbita kepleriana?

Passo 1

Pra resolver esssa questão, vamos usar a terceira lei de Kepler, se liga só:

T 2 a 3 = 4 π 2 G M

Passo 2

Quando ele disse que o semi-eixo maior é 5,5 dias-luz, ele quis nos dizer que a = 5,5 dias-luz. Convertendo isso pra metro:

  a = 5,5   d i a s × 86400 s 1 d i a × 3 ⋅ 10 8 m s ≅ 1,42 ⋅ 10 15   m  

O período é de 15,2 anos, passando para segundos:

T = 15,2   a n o s × 365   d i a s 1   a n o × 86400 s 1 d i a ≅ 4,8 ⋅ 10 8   s

Passo 3

Isolando a massa na terceira lei de Kepler,temos:

T 2 a 3 = 4 π 2 G M → M = 4 π 2 a 3 G T 2

Substituindo os valores e fazendo as contas, temos:

M = 4 π 2 1,42 ⋅ 10 15   m   3 6,673 ⋅ 10 - 11   N ⋅ m 2 k g 2 4,8 ⋅ 10 8   s 2 ≅ 7,35 ⋅ 10 36   k g

Logo,

M ≅ 7,4 ⋅ 10 36   k g

Resposta

M ≅ 7,4 ⋅ 10 36   k g

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