Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 73
Afinando um instrumento. Um músico afina a corda C de seu instrumento para uma frequência fundamental igual a 65,4 Hz. O comprimento da seção da corda que vibra é igual a 0,600 m e a massa é igual a 14,4 g. (a) Qual é a tensão com a qual ela deve ser esticada? (b) Qual deve ser o aumento percentual da tensão para fazer a frequência aumentar de 65,4 Hz até 73,4 Hz, correspondendo a um aumento de altura da nota C para a nota D?
Passo 1
Fala galera, bora lá! Para resolver este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre ondas mecânicas. Sendo mais especifico, determinaremos o comprimento de onda através do comprimento da corda. Em seguida utilizando as equações (15.1) e (15.13) da bibliografia (expostas abaixo), calcularemos a velocidade da onda e a tensão, respectivamente.
Em que é a frequência, é a velocidade da onda, é a tensão na corda, é o comprimento da onda e a densidade linear do mesmo.
Passo 2
(a) Determinaremos, neste item, qual é a tensão com a qual a corda deve ser esticada.
Lembrando inicialmente da relação , podemos calcular o valor do comprimento de onda:
Passo 3
Uma vez determinado o valor do comprimento de onda, utilizaremos a equação (15.1) para calcular a velocidade da onda:
Deste modo, resta-nos determinar o valor da densidade linear da corda para, em seguida calcular a tensão. Assim:
Passo 4
Agora que detemos o valor de todas as variáveis, isolando a tensão na equação (15.13) e aplicando-a, obtém-se finalmente que:
Portanto, a corda deve ser esticada com uma tensão de
Passo 5
(b) Nesta alternativa, por fim, determinaremos qual deve ser o aumento percentual da tensão para fazer a frequência aumentar de 65.4 Hz até 73.4 Hz, o que corresponde a um aumento de altura da nota C para a nota D.
Combinando as equações do passo 1, obtém-se que
Ademais, observa-se que é uma propriedade da corda, logo, é constante, e que é determinando pelo comprimento da corda então este parâmetro também é constante. Assim, sendo constantes implica que:
Passo 6
Isolando , na expressão acima e substituindo os valores conhecidos obtemos o valor da nova tensão:
Por fim, conhecendo os dois valores de tensões, podemos finalmente calcular o aumento porcentual:
Resposta
- A corda deve ser esticada com uma tensão .
- O aumento percentual da tensão para fazer a frequência aumentar de 65.4 Hz até 73.4 Hz deve ser de .