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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 27.Problemas - Ex. 57

Os pólos magnéticos de um pequeno cíclotron produzem um campo magnético de módulo igual a 0,85 T. Os polos possuem um raio de 0,40 m, que é o raio máximo que as órbitas das partículas podem atingir. (a) Qual é o valor máximo da energia adquirida por um próton (q 1,60 × 10 - 19 C, m = 1,67 × 10 - 27 k g ) acelerado por esse cíclotron? Forneça a resposta em elétron-volts e em joules. (b) Qual é o tempo de revolução para um próton girando com esse raio máximo? (c) Qual deve ser o módulo de um campo magnético necessário para acelerar um próton até ele atingir uma energia máxima igual ao dobro da calculada no item (a)? (d) Considerando B=0,85 T, qual é a energia máxima atingida por uma partícula alfa ( q = 3,20 × 10 - 19 C , m = 6,65 × 10 - 27 k g ) acelerada nesse cíclotron? Como o resultado obtido se compara à energia máxima para os prótons?

Passo 1

letra a)

Para calcularmos a energia cinética, precisamos encontrar a velocidade. E para isso iremos igualar a força centrípeta com a força magnética.

q v B = m v 2 R

q B = m v R

v = q B R m

v = 1,6 ⋅ 10 - 19 ⋅ 0,85 ⋅ 0,4 1,67 ⋅ 10 - 27

v = 3,257 ⋅ 10 7   m / s

Passo 2

A energia cinética será:

K = 1 2 m v 2

K = 1 2 ⋅ 1,67 ⋅ 10 - 27 ⋅ 3,257 ⋅ 10 7 2

K = 8,9 ⋅ 10 - 13   J = 5,6   M e V

Passo 3

letra b)

O tempo de revolução é o período.

T = 2 π ω = 2 π R v

T = 2 π ⋅ 0,4 3,257 ⋅ 10 7

T = 7,7 ⋅ 10 - 8   s

Passo 4

letra c)

Queremos agora o campo magnético para a energia cinética ser o dobro da energia que achamos no item a.

Sabemos que:

K = 1 2 m v 2

K = 1 2 m q B R m 2

B = 2 K m q R

Queremos agora então:

2 K = 1 2 m q B R m 2

Logo:

B = 2 2 K m q R

B = 2 ⋅ 0,85

B = 1,2   T

Passo 5

letra d)

Queremos agora a energia para uma partícula q = 3,2 ⋅ 10 - 19   C

Então vamos primeiro calcular a velocidade.

v = q B R m

v = 3,2 ⋅ 10 - 19 ⋅ 0,85 ⋅ 0,4 6,65 ⋅ 10 - 27

v = 1,636 ⋅ 10 7   m / s

Passo 6

A energia será:

K = 1 2 ⋅ 6,65 ⋅ 10 - 27 ⋅ 1,636 ⋅ 10 7 2

K = 8,9 ⋅ 10 - 13   J = 5,6   M e V

Resposta

letra a) K = 8,9 ⋅ 10 - 13   J = 5,6   M e V

letra b) T = 7,7 ⋅ 10 - 8   s

letra c) B = 1,2   T

letra d) K = 8,9 ⋅ 10 - 13   J = 5,6   M e V

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