42. Um alpinista de planeja saltar, a parti do repouso, de uma saliência de um rochedo usando uma corda leve de de comprimento. Ele segura uma das extremidades da corda, e a outra extremidade é amarrada em uma parede de rocha mais acima. Como a saliência que ele está não fica muto distante da parede de rocha, a corda forma um ângulo pequeno com a vertical. No ponto mais baixo de seu oscilar, o alpinista planeja largar a corda e cair de uma altura não muito elevada até o chão. Quanto tempo depois de saltar segurando a corda o alpinista chegará pela primeira vez ao seu ponto mais baixo? Se ele perder a primeira oportunidade de soltar a corda, quanto tempo após o início de sua oscilação o alpinista chegará ao seu ponto mais baixo pela segunda vez?

Bem, podemos considerar essa situação do enunciado com se fosse um pêndulo.

Mas como saber o tempo que leva até a parte mais baixa? Podemos usar o período ao nosso favor, já que para o pêndulo ele tem uma fórmula bem definida para amplitudes pequenas, como foi dito pelo enunciado. A fórmula é seguinte:

Mas para usá-la temos que saber que fração do período temos quando o pêndulo se encontra na posição comentada mais acima.

O período de um pêndulo é o tempo que ele leva a partir do momento que é solto até ele voltar para posição inicial. Então metade do período é o tempo de ida e a outra metade o tempo de volta.

Agora, o ponto onde o pêndulo está totalmente na vertical se localiza na metade do percurso da ida, então ele leva metade do tempo de ida e esse por sua vez é metade do período, então o tempo que o pêndulo leva para atingir essa posição é , um quarto do período.

Então a nossa fórmula anterior fica:

Agora, a próxima consecutiva que isso ocorre é quando o pêndulo completa a ida e está na metade da volta, então isso corresponde a do período.

Então a fórmula fica assim: