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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 15.2 - Ex. 36

Se o ângulo de fase de um sistema massa-mola em MHS é π / 6 r a d e a posição do bloco é dada por x = x m c o s ω t + ϕ , qual é a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante t=0?

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo belezinha?

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado quer que a gente encontre a razão entre a energia cinética K e a energia potencial U em t = 0   s de um sistema massa-mola que oscila em MHS com ângulo de fase ϕ = π / 6 .

Belezoca, pra isso podemos lembrar que a energia cinética é dada por:

K = 1 2 m v 2

Enquanto que a energia potencial será dada por:

U = 1 2 k x 2

Sendo assim, a razão entre elas é obtida como:

K U = 1 2 m v 2 1 2 k x 2

K U = m v 2 k x 2

Belezinha, então agora a gente precisa tentar simplificar esses termos em função de algo que a gente conheça. Bora lá.

Passo 2

Primeira coisa que a gente pode lembrar é que a frequência angular ω é dada como:

ω = k m

Então podemos isolar a razão k / m , tal que:

ω 2 = k m

Ou então invertendo a fração, teremos:

m k = 1 ω 2

Logo, nossa razão já pode ser escrita como:

K U = m k v 2 x 2

K U = 1 ω 2 v 2 x 2

Passo 3

Iradoso, como o enunciado nos deu que a posição angular x é dada como:

x = x m cos ⁡ ω t + ϕ

Podemos obter a velocidade v , derivando essa equação, tal que:

v = - ω x m sen ⁡ ω t + ϕ

Então se a gente elevar x e v ao quadrado, teremos:

x 2 = x m 2 cos 2 ⁡ ω t + ϕ

v 2 = ω 2 x m 2 sen 2 ⁡ ω t + ϕ

Show de bolinhas, agora substituindo isso na nossa razão, vamos ter:

K U = 1 ω 2 v 2 x 2

K U = 1 ω 2 ω 2 x m 2 sen 2 ⁡ ω t + ϕ x m 2 cos 2 ⁡ ω t + ϕ

K U = sen 2 ⁡ ω t + ϕ cos 2 ⁡ ω t + ϕ

Logo:

K U = tan 2 ⁡ ω t + ϕ

E já que queremos a razão quando t = 0   s dado um ângulo de fase pelo enunciado ϕ = π 6 , vamos obter que:

K U = tan 2 ⁡ π 6

K U = 1 3

Portanto, a razão entre a energia cinética e a energia potencial em t = 0   s é 1 3 .

Resposta

K U = 1 3

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