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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 15.4 - Ex. 41

Na Fig. 15-40, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 c m e 500 g de massa preso a uma barra homogênea de comprimento L = 500 m m e 270 g de massa. (a) Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão. (b) Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o período de oscilação.

Passo 1

Pra calcular o momento de inércia com relação ao ponto de suspensão, a gente precisa saber calcular o momento de inércia de um disco e de uma barra com relação ao seus respectivos centros de gravidade. Depois, a gente usa o teorema dos eixos paralelos pra calcular o momento de inércia com relação ao ponto de suspensão. Vamos fazer isso então.

O momento de inércia de um disco uniforme com relação ao seu centro é

I d c = 1 2 M r 2

onde M é a massa do disco e r é seu raio. O disco deste problema rotaciona em torno de um ponto situado a uma distância de r + L de seu centro, onde L é o tamanho da barra. Então, de acordo com o teorema dos eixos paralelos, seu momento de inércia é:

I d = 1 2 M r 2 + M L + r 2

Analisando agora a barra, ela seu momento de inércia com relação a sua extremidade vale

I b = m L 2 3

onde m é sua massa. Logo, o momento de inercia total, composto pelo disco e pela barra é

I = 1 2 M r 2 + M L + r 2 + 1 3 m L 2 I = 1 2 0,500 k g 0,100 m 2 + 0,500 k g 0,500 m + 0,100 m 2 + 1 3 0,270 k g 0,500 m 2

I = 0,205 k g . m 2

Passo 2

Colocando a origem no ponto de sustentação, escrevemos primeiro a distancia entre esse ponto e o centro do disco:

l D = L + r = 0,500 m + 0,100 m = 0,600 m

O Centro de massa da barra dista do ponto de sustentação de:

L B = L 2 = 0,500 m 2 = 0,250 m

Ambos os centro de massa estão na mesma linha. A distância do ponto de sustentação e o centro de massa do pêndulo é dado pela seguinte equação:

d = M l D + m l R M + m = 0,500 k g 0,600 m + 0,270 k g 0,250 m 0,500 k g + 0,270 k g

d = 0,477 m

Passo 3

Pra calcular o período de oscilação, a gente usa a equação abaixo

T = 2 π I M + m g d

T = 2 π 0,205 k g . m 2 0,500 k g + 0,270 k g 9,81 m / s 2 0,447 m

T = 1,50 s

Resposta

(a)

(b) d = 0,477 m

(c) T = 1,50 s

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