Enunciado

a)Nos diagramas PV, a inclinação ∂ P /   ∂ V ao longo de uma isoterma nunca é positiva. Explique porquê. b) As regiões em que ∂ P /   ∂ V = 0 representam o equilíbrio entre duas fases; o volume pode variar sem que ocorra nenhuma variação de pressão, tal como no caso da ebulição da água na pressão atmosférica. Podemos usar esse dado para determinar a temperatura, a pressão e o volume por mol no ponto critico, usando uma equação de estado P = P ( V , T , n ) . Se T > T c , então P ( V ) não apresenta nenhum máximo ao longo de uma isoterma; se, entretanto, T < T c , então P ( V ) apresenta um máximo. Explique como o que foi dito conduz à seguinte condição para determinar o ponto critico:

∂ P ∂ V = 0 e ∂ 2 P ∂ V 2 = 0 no ponto critico

c) Explique P da equação de van der Waals (Equação (18.7)). Ou seja, ache a equação P = P ( V , T , n ) . Ache ∂ P / ∂ V e ∂ 2 P / ∂ V 2 . Iguale a zero esses valores para obter duas equações envolvendo V , T e n . d) A solução do sistema de duas equações obtidas no item (c) fornece a temperatura e o volume por mo, no ponto critico, T c e V n c . Ache essas constantes em termos de a e de b . (Sugestão: divida uma equação pela outra para eliminar T .) e) Substitua esses valores na equação de estado para determinar P c , a pressão do ponto critico. f) Use os resultados das partes (d) e (e) para achar a razão R T c / P c V n c . O resultado não deve conter a e   b e, portanto, deve ter sempre o mesmo valor para todos os gases. g) Calcule a razão R T c P c V n c para os gases H 2 , N 2 e H 2 O usando os dados dos pontos críticos fornecidos abaixo.

h) Compare a aproximação obtida no item (f) com base na ´revisão feita com a equação de van der Waals com os resultados da parte (g). O que você conclui sobre a precisão da equação de van der Waals na descrição do comportamento dos gases nas vizinhanlas do ponto critico?

Passo 1

O comportamento das isotermas para um gás real acima e abaixo do ponto crítico é mostrado na Figura 18.7 no livro didático.

Passo 2

  1. Uma inclinação positiva ∂ P ∂ V significaria que um aumento de pressão causa um aumento de volume, ou esse volume decrescente resulta em uma diminuição da pressão, o que não pode ser o caso de qualquer gás real.
  2. Passo 3

  3. Veja a Figura 18.7 no livro. Na parte (a), p não pode ter uma inclinação positiva ao longo de uma isoterma, e também pode não ter extremos (máximos ou mínimos) ao longo de uma isoterma.
  4. Quando ∂ P ∂ V desaparece ao longo de uma isoterma, o ponto na curva em um diagrama p - V deve ser um ponto de inflexão e ∂ 2 P ∂ V 2 = 0 .

    Passo 4

  5. A equação de van der Waals é:
  6. p + a n 2 V 2 V - n b = n R T

    Isso implica que:

    p = n R T V - n b - a n 2 V 2

    ∂ P ∂ V = - n R T V - n b 2 + 2 a n 2 V 3

    E

    ∂ 2 P ∂ V 2 = 2 n R T V - n b 3 - 6 a n 2 V 4

    Definindo os dois últimos iguais a zero, dá:

    V 3 n R T = 2 a n 2 V - n b 2

    E

    V 4 n R T = 3 a n 2 V - n b 3

    Passo 5

  7. Seguindo a dica,
  8. V = 3 2 V - n b

    que é resolvido para V n c = 3 b .

    Substituindo isso em uma das ultimas duas expressões na parte (c), fornece:

    T c = 8 a / 27 R b

    Passo 6

  9. Substituindo valores para o ponto critico, temos:
  10. p c = R T V n c - b - a V n c = R 8 a 27 R b 2 b - a 9 b 2 = a 27 b 2

    Passo 7

  11. E agora vamos encontrar a razão para achar a razão R T c / P c V n c :
  12. R T c P c V n c = 8 a 27 b a 2 7 b 2 3 b = 8 3

    Passo 8

  13. E calculando a razão, R T c P c V n c , para os gases H 2 , N 2 e H 2 O , temos que:
  14. H 2 : 3,28

    N 2 : 3,44

    H 2 O : 4,35

    Passo 9

  15. Embora todos estejam perto de 8/3, o acordo não é bom o suficiente para ser útil na previsão de críticas dados pontuais. A equação de van der Waals modela certos gases e não é precisa para substâncias próximas a pontos críticos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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