12.37. A espaçonave Helios B possuía uma velocidade de 71 km/s quando ela estava a 4,3 ⋅ 10 7   k m do Sol. a) Prove que ela não estava em uma órbita circular em torno do Sol. b) Prove que sua órbita em torno do Sol era fechada e, portanto, elíptica.

Passo 1

Bem, a gente pode provar pelo seguinte, se a órbita for circular ela tem que respeitar essa relação para velocidade

v = G M r

Vamos ver se isso acontece. A gente consegue achar os valores de G e da massa do Sol no Apêndice do livro. Vamos nos atentar também à unidade que o enunciado nos dá. A gente tem que colocar tudo no SI, então

4,3 ⋅ 10 7   k m → 4,3 ⋅ 10 10   m

v = 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1,99 ⋅ 10 30 4,3 ⋅ 10 10

Agora é só fazer essa continha

v = 55383,73 m s

Vamos agora passar para k m s

v = 55383,73 1000 = 55,38 k m s

E olha só

55,38 k m s ≠ 71 k m s

Logo a órbita não é circular.

Passo 2

Agora vamos ver se essa órbita é fechada. Bom existem só dois tipos de órbitas fechadas, circular e elíptica.

Vamos lembrar do conceito de velocidade de escape. Se a velocidade do satélite for superior a velocidade de escape, significa que a órbita é aberta, se for menor, quer dizer que a órbita é fechada. Vamos então calcular a velocidade de escape do Sol.

v e = 2 G M r

Mas a velocidade que a gente calculou no item anterior é

v = G M r

Então a velocidade de escape pode ser escrita como

v e = 2 ⋅ v

Agora é só fazer essa continha

v e = 2 ⋅ 55,38

Fazendo essa conta

v e = 78,31 k m s

E como

78,31 k m s > 71 k m s

A órbita é fechada, e por tanto elíptica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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