Existe uma probabilidade finita, embora muito pequena, de que um elétron de um átomo seja encontrado no interior do núcleo. Na verdade, alguns núcleos instáveis usam essa presença ocasional do elétron no núcleo para decair por captura eletrônica. Supondo que o próton seja uma esfera com 1,1 ⋅ 10 - 15m de raio e que a função de onda do elétron do átomo de hidrogênio seja válida para raios muito próximos de 0 , use a função de onda do estado fundamental para calcular a probabilidade de que o elétron do átomo de hidrogênio seja encontrado no interior do núcleo.

Enunciado

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema, temos que usar a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio:

A densidade de probabilidade por unidade de volume é dada pelo quadrado da função de onda:

A probabilidade será dada pela integral de volume de :

Em coordenadas esféricas, podemos escrever , de modo que

O exercício quer a probabilidade de o elétron estar entre e . Para achar isso, basta fazer a integral:

Usando uma tabela de integrais, temos que

Usando , temos que

Assim,

Ou ainda,

Com isso, a probabilidade fica

Vou escrever ainda :

Como e :

Portanto,

Fazendo as contas, achamos

Repare que essa probabilidade é bem pequena pois, afinal, a chance do elétron estar dentro do núcleo é muito pequena!