Aplicando diretamente as definições e efetuando as derivações envolvidas, mostre que .
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Esse é mais um exercício de demonstração com cálculo vetorial. Queremos mostrar que o divergente de um rotacional é nulo. Para isso, primeiro calculamos o rotacional:
Desenvolvendo o determinante, achamos
Passo 2
O próximo passo é calcular o divergente. Para isso, lembramos que
Assim,
Fazendo distributivas, achamos
Como as derivadas de segunda ordem mistas são intercambiáveis, temos que
Com isso, todos os termos vão se cancelar de modo que
Era isso que a questão pedia para você mostrar!
Resposta
Demonstração.