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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 24.Exercícios e Problemas - Ex. 9

Aplicando diretamente as definições e efetuando as derivações envolvidas, mostre que ∇ ⋅ ∇ × u → = 0 .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse é mais um exercício de demonstração com cálculo vetorial. Queremos mostrar que o divergente de um rotacional é nulo. Para isso, primeiro calculamos o rotacional:

∇ × u → = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y ∂ z u x u y u z

Desenvolvendo o determinante, achamos

∇ × u → = ∂ u z ∂ y - ∂ u y ∂ z i ^ + ∂ u x ∂ z - ∂ u z ∂ x j ^ + ∂ u y ∂ x - ∂ u x ∂ y k ^

Passo 2

O próximo passo é calcular o divergente. Para isso, lembramos que

∇ ⋅ A → = ∂ A x ∂ x + ∂ A y ∂ y + ∂ A z ∂ z

Assim,

∇ ⋅ ∇ × u → = ∂ ∂ x ∂ u z ∂ y - ∂ u y ∂ z + ∂ ∂ y ∂ u x ∂ z - ∂ u z ∂ x + ∂ ∂ z ∂ u y ∂ x - ∂ u x ∂ y

Fazendo distributivas, achamos

∇ ⋅ ∇ × u → = ∂ 2 u z ∂ x   ∂ y - ∂ 2 u z ∂ y   ∂ x + ∂ 2 u x ∂ y   ∂ z - ∂ 2 u x ∂ z   ∂ y + ∂ 2 u y ∂ z   ∂ x - ∂ 2 u y ∂ x   ∂ z

Como as derivadas de segunda ordem mistas são intercambiáveis, temos que

∂ 2 u z ∂ x   ∂ y = ∂ 2 u z ∂ y   ∂ x

∂ 2 u x ∂ y   ∂ z = ∂ 2 u x ∂ z   ∂ y

∂ 2 u y ∂ z   ∂ x = ∂ 2 u y ∂ x   ∂ z

Com isso, todos os termos vão se cancelar de modo que

∇ ⋅ ∇ × u → = 0

Era isso que a questão pedia para você mostrar!

Resposta

Demonstração.

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