O campo magnético induzido a 6,0   m m do eixo central de um capacitor de placas circulares e paralelas é 2,0 × 10 - 7   T . As placas têm 3,0   m m de raio. Qual é a taxa de variação d E → / d t do campo elétrico entre as placas?

Passo 1

E aí, galera! 😁

Nesse problema queremos determinar a taxa de variação do campo elétrico no interior de um capacitor.

Parece complicado? 😬

Um campo magnético pode ser criado por uma corrente ou pela indução produzida por um fluxo elétrico variável, beleza? Isso pode ser expresso pela expressão a seguir

∮ B → . d A → = μ o ε o d ϕ E d t

Vamos analisar separadamente o lado esquer e o lado direito dessa equação.

Veja só! 😉

Passo 2

Lado esquerdo: vamos escolher uma amperiana circular de raio r ≤ R , porque queremos calcular o campo no espaço entre as placas do capacitor. O campo em todos os pontos da amperiana é tangente à curva, o que também acontece com o elemento de comprimento d s → .

Assim, B → e d s → são paralelos ou antiparalelos em todos os pontos da curva. Para simplificar os cálculos, vamos supor que sejam paralelos> Nesse caso, temos:

∮ B → . d s → = ∮ B   d s cos ⁡ 0 ° = ∮ B   d s

Devido a simetria circular das placas, podemos supor que o módulo de B → é o mesmo ao longo de toda a curva, podendo sair da integral e restando apenas a integral de d s . Essa, por sinal, é simplesmente perímetro 2 π r da amperiana. Assim, o lado esquerdo da equação é B 2 π r .

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Lado direito: Vamos supor que o campo elétrico E → é uniforme na região entre as placas do capacitor e perpendicular às placas. Nesse caso, o fluxo elétrico ϕ E através da amperiana é E A , onde A é a parte da área envolvida pela amperiana que é atravessada pelo campo elétrico. Assim, o lado direito da euqação é μ o ε o   d ( E A ) / d t .

Juntando os dois resultados, temos:

B 2 π r = μ o ε o d E A d t

B 2 π r = μ o ε o A d E d t

B = μ o ε o π R 2 2 π r d E d t

B = μ o ε o R 2 2 r d E d t

Legal, né? 👀

Passo 4

Nessa questão, nós queremos a taxa de variação do campo elétrico, ou seja, queremos achar o valor da d E / d t ! Assim, vamos explicitar ele na equação encontrada no passo 3!

d E d t = 2 B r μ o ε o R 2

Fazendo as substituições dos valores

d E d t = 2 2,0 × 10 - 7   T 6,0 × 10 - 3   m 4 π × 10 - 7   T . m A 8,85 × 10 - 12 C 2 N . m 2 3,0 × 10 - 3   m 2

d E d t = 2,4 × 10 13 V m . s

E aí, entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

A taxa de variação do campo elétrico é:

d E d t = 2,4 × 10 13 V m s

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