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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas desafioadores - Ex. 86

a)Quando um copo descreve uma órbita circular de raio r em torno da Terra (massa m T ), o período da órbita é igual a T   (dado pela Equação (12.12)) e a velocidade orbital é igual a v 9dada pela Equação (12.10)). Mostre que, quando o corpo se move em uma órbita circular de raio r + ∆ r sendo ∆ r ≪ r , seu novo período da órbita é igual a T + ∆ T e sua nova velocidade orbital é igual a v × ∆ v , onde ∆ r , ∆ T e ∆ v são grandezas positivas e

∆ T = 3 π ∆ r v e ∆ v = π ∆ r T

(Sugestão: Use a expressão 1 + x n ≈ 1 + n x , válida para x ≪ 1 .)

b)A Estação Espacial Internacional (Internacional Space Station—ISS) descreve uma órbita aproximadamente circular a uma altura de 398,00 km acima da superfície terrestre. Uma tripulação de manutenção deverá chegar ao local onde ela se encontra usando um ônibus espacial que também descreve uma órbita circular no meso plano da ISS, mas a uma altitude de 398,10km. A tripulação deve remover um cabo elétrico deteriorado cujo comprimento é igual a 125 m, que possui uma das extremidades presa na ISS e a outra extremidade flutua livre no espaço. A missão planeja o cabo através da extremidade livre quando o ônibus espacial, a ISS e o centro da Terra estiveram alinhados. A seguir, o cabo seria destacado da ISS quando ele ficasse sob tensão ao ser esticado. Quanto tempo depois de a extremidade livre do cabo ficar presa ao ônibus espacial seria necessário para ela se destacar da ISS? Dê sua resposta em minutos. c) Caso falhe a tentativa de prender o cabo no ônibus espacial, mostre que a tripulação deverá esperar um tempo t ≈ T 2 / ∆ T até que ela tenha uma segunda chance. Calcule o valor numérico de t e explique se compesaria essa espera.

Passo 1

Nas equações da orbita circular:

T = 2 π r 3 / 2 G m E

e a equação:

d A d t = 1 2 m   r → × m v → = L 2 m

substituiremos T por T + Δ T e r por r + Δ r . Usaremos a expressão na dica para simplificar as equações resultantes.

A Terra tem m E = 5,97 × 10 24   k g e R = 6,38 × 10 6   m .

r = h + R E , onde h é a altitude acima da superfície da terra.

Passo 2

  1. Sabemos que

    2. T = 2 π   r 3 / 2 G M E ,

    portanto

    T + ∆ T = 2 π G M E r + ∆ r 3 / 2 = 2 π   r 3 / 2 G M E 1 + ∆ r r 3 / 2 ≈ 2 π   r 3 / 2 G M E 1 + 3 ∆ r 2 r = T + 3 π r 1 / 2 ∆ r G M E .  

    Passo 3

    Como v = G M E r , ∆ T = 3 π ∆ r v .

    v = G M E   r - 1 / 2 ,

    E portanto

    v - ∆ v = G M E   r + ∆ r - 1 2 1 + ∆ r r - 1 / 2

    E

    v ≈ G M E   r - 1 2 1 - ∆ r 2 r = v - G M E 2 r 3 / 2 ∆ r .

    T = 2 π   r 3 / 2 G M E ,   ∆ v = π ∆ r T .  

    Passo 4

  2. Começando com

    3. T = 2 π   r 3 / 2 G M E ,         T = 2 π r v ,

    E

    v = G M r ,

    encontraremos a velocidade e o período da órbita inicial:

    v = 6,673 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 5,97 × 10 24   k g 6,776 × 10 6   m = 7,672 × 10 3   m / s ,

    E

    T = 2 π r v = 5549   s = 92,5   m i n .

    Podemos então usar as duas equações derivadas para aproximar Δ T e Δ v :

    Δ T = 3 π ∆ r v = 3 π   ( 100 m ) 7,672 × 10 3   m / s = 0,1228   s

    E

    ∆ v = π ∆ r T = π ( 100   m ) ( 5549   s ) = 0,05662   m / s .

    Antes do cabo quebrar, o ônibus terá percorrido uma distância d ,

    d = 125 m 2 - ( 100 m 2 ) = 75   m .

    t = 75 m 0,05662 m s = 1324,7 s = 22 m i n

    Passo 5

  3. A ISS está se movendo mais rápido que o ônibus espacial, então o ângulo total que ele cobre em uma órbita deve ser 2 π   radianos a mais do que o ângulo que o ônibus espacial cobre antes que eles estejam novamente alinhados. Matematicamente,

v t r - v - ∆ v t r + ∆ r = 2 π .

Usando o teorema binomial e negligenciando os termos de ordem ∆ v ∆ r ,

v t r - v - ∆ v t r 1 + ∆ r r - 1 ≈ t ∆ v r + v ∆ r r 2 = 2 π .

Portanto,

t = 2 π r ∆ v + v ∆ r r = v T π   ∆ r T + v ∆ r r .

Desde que

2 π r = v T e ∆ r = v ∆ T / 3 π .

t = v T π t v ∆ T 3 π + 2 π T v ∆ T 3 π = T 2 ∆ T ,

Desde que era para ser mostrado.

t = T 2 ∆ T = 5549 s 2 0,1228 s = 2,5 × 10 8 s = 2900 d = 7,9 a n o s .

É altamente duvidoso que a tripulação do ônibus sobreviva às audiências do congresso se perderem!

Quando o raio da órbita aumenta, o período orbital aumenta e a velocidade orbital diminui.

Resposta

a)Mostrado nos passos 2 e 3;

b)Levará 22 minutos para o cabo quebrar;

c)   7,9 a n o s

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