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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 94

(a)Seja f ( x ) uma função par de x de modo que f x = f - x . Mostre que ∫ - a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x . (Sugestão: escreva a integral de - a até a como a soma da integral de - a até 0 com a integral de 0 até a . Na primeira integral, faça a mudança de variável x ’ = - x . ) (b)Seja g ( x ) uma função ímpar de x de modo que g x = - g ( - x ) . Usando o método indicado na sugestão para o item (a) mostre que ∫ - a a g ( x ) d x = 0 . (c)Use o resultado obtido no item (b) para mostrar que E y , indicado no Exemplo 21.11 (Seção 21.5), é igual a zero.

Passo 1

Olha que fofo, a questão que era pra nos fazer chorar, nos deu uma dica muuuuito valiosa pra gente responder! Temos que:

∫ x 1 x 2 f ( x ) d x = - ∫ x 2 x 1 f ( x ) d x

Logo, (a)Para,

f x = f - x ,

∫ - a a f ( x ) d x = ∫ - a 0 f ( x ) d x + ∫ 0 a f ( x ) d x = ∫ 0 - a f - x d - x + ∫ 0 a f x d x

Agora substituímos - x com y . Isso nos dá:

∫ - a a f ( x ) d x = ∫ 0 a f ( y ) d y + ∫ 0 a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x

Passo 2

Entenderam o feeling do negócio? Então bora continuar! Para (b), temos para g x = - g - x ,

∫ - a a g ( x ) d x = ∫ - a 0 g ( x ) d x + ∫ 0 a g ( x ) d x = - ∫ 0 - a - g - x - d - x + ∫ 0 a g ( x ) d x

Agora substituindo - x por y ,

∫ - a a g ( x ) d x = - ∫ 0 a g y d y + ∫ 0 a g x d x = 0

Passo 3

No item (c), essa é fácil! O integrando em E y no exemplo 21.11 é impar. Logo, E y = 0 .

Resposta

a ) ∫ - a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x

b ) ∫ - a a g ( x ) d x = 0 .

c ) E y = 0 .

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