Quando um átomo de hidrogênio passa por uma transição do nível n = 2 e n = 1 , um fóton com λ =   122   n m é emitido. (a) Se imaginarmos o átomo como um elétron em uma caixa de uma dimensão, qual é a largura da caixa para que a transição de n = 2 e n = 1 corresponda à emissão de um fóton com essa energia? (b) Para uma caixa com a largura calculada no item (a), qual é o estado fundamental de energia? Como isso corresponde ao estado fundamental de energia de um átomo de hidrogênio? (c) Você acha que uma caixa de uma dimensão é um bom modelo para um átomo de hidrogênio? Explique. (Dica: compare o espaçamento entre níveis de energia adjacentes em função de n).

Passo 1

letra a)

A diferença de energia entre os níveis n = 2 e n = 1 será:

Δ E = E 2 - E 1

Δ E = 2 2 h 2 8 m L 2 - 1 2 h 2 8 m L 2

Δ E = h 2 8 m L 2 ( 4 - 1 )

Δ E = 3 h 2 8 m L 2

Como queremos o comprimento da caixa:

L = h 3 8 m Δ E

Passo 2

A energia de um fóton é dada por:

E = h f = h c λ

E = 6,626 ⋅ 10 - 34 3 ⋅ 10 8 1,22 ⋅ 10 - 9

E = 1,63 ⋅ 10 - 21   J

Passo 3

O comprimento da caixa então será:

L = 6,626 ⋅ 10 - 34 ⋅ 3 8 9,11 ⋅ 10 - 31 1,63 ⋅ 10 - 21

L = 1,05 ⋅ 10 - 8   m

Passo 4

letra b)

Usando o comprimento da caixa que achamos no item anterior, podemos calcular o nível fundamental de energia.

E 1 = h 2 8 m L 2

E 1 = 6,626 ⋅ 10 - 34 2 8 9,11 ⋅ 10 - 31 1,05 ⋅ 10 - 8 2

E 1 = 5,46 ⋅ 10 - 22   J

Esse valor não corresponde a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio.

Passo 5

letra c)

Uma caixa não é um bom modelo para o átomo de hidrogênio, visto que a energia é proporcional a - 1 n 2 .

Resposta

letra a) L = 1,05 ⋅ 10 - 8   m

letra b) E 1 = 5,46 ⋅ 10 - 22   J , não corresponde a energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio.

letra c)Não é um bom modelo.

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