Bolas de bilhar no nível fundamental (a) Determine o nível de energia mais baixo para a partícula em uma caixa, supondo que a partícula seja uma bola de bilhar ( m   =   0,20   k g ) e que a largura da caixa seja 1,5   m , o tamanho de uma mesa de bilhar. (Suponha que a bola desliza sem atrito em vez de rolar. Ou seja, despreze a energia cinética da rotação.) (b) Como a energia do item (a) é totalmente dada pela energia cinética, a que velocidade isso corresponde? Com essa velocidade, quanto tempo a bola levaria para ir de uma extremidade da mesa até a outra? (c) Qual é a diferença de energia entre os níveis n = 2 e n = 1 ? (d) Os efeitos da mecânica quântica são importantes para o jogo de bilhar?

Passo 1

letra a)

A energia de uma partícula em uma caixa é dada por:

E n = n 2 h 2 8 m L 2

Como queremos no nível mais baixo n = 1 , então:

E 1 = 1 2 6,626 ⋅ 10 - 34 2 8 0,20 1,5 2

E 1 = 1,2 ⋅ 10 - 67   J

Passo 2

letra b)

A energia cinética é:

E = 1 2 m v 2

Então a velocidade será:

v = 2 E m

v = 2 1,2 ⋅ 10 - 67   0,20

v = 1,1 ⋅ 10 - 33   m / s  

Passo 3

Para calcularmos o tempo para a bolinha atravessar a mesa, basta usarmos:

t = L v

t = 1,5 1,1 ⋅ 10 - 33  

t = 1,4 ⋅ 10 33   s

Passo 4

letra c)

A diferença de energia entre os níveis n = 2 e n = 1 será:

Δ E = E 2 - E 1

Δ E = 2 2 h 2 8 m L 2 - 1 2 h 2 8 m L 2

Δ E = 4 6,626 ⋅ 10 - 34 2 8 0,20 1,5 2 - 1 6,626 ⋅ 10 - 34 2 8 0,20 1,5 2

Δ E = 3,6 ⋅ 10 - 67   J

Passo 5

letra d)

Não, os efeitos da mecânica quântica não são importantes para o jogo de bilhar. O discreto,

a natureza quantizada dos níveis de energia é completamente não-observável.

Resposta

letra a) E 1 = 1,2 ⋅ 10 - 67   J

letra b) v = 1,1 ⋅ 10 - 33   m / s   , t = 1,4 ⋅ 10 33   s

letra c) Δ E = 3,6 ⋅ 10 - 67   J

letra d) Não.

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