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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.Problemas adicionais - Ex. 73

Considere um elétron de condução em um cristal cúbico de um material condutor. O elétron está livre para se mover no interior do cristal, mas não pode sair do cristal. Isso significa que ele está confinado em um poço de potencial tridimensional infinito. Como o elétron pode se mover nas três dimensões, sua energia total é dada por

E = h 2 8 m L 2 n 1 2 + n 2 2 + n 3 2

em que n 1 , n 2 e n 3 são números inteiros positivos. Calcule a energia dos cinco primeiros estados de um elétron de condução em um cristal cúbico com uma constante de rede L = 0,25   μ m .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Primeiro vamos calcular o fator h 2 / 8 m L 2 em eletron-volt. Para isso, escrevemos

h 2 8 m L 2 = h c 2 8 m c 2 L 2

Usando h c = 1,24 ⋅ 10 - 6   e V   m = 1,24   e V   μ m e m c 2 = 511 ⋅ 10 3   e V , temos que

h 2 8 m L 2 = 1,24   e V   μ m 2 8 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V ⋅ 0,25   μ m 2

Assim,

h 2 8 m L 2 = 6,02 ⋅ 10 - 6   e V = 6,02   μ e V

Portanto,

E = n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ⋅ 6,02   μ e V

Passo 2

A menor energia ocorre para n 1 = n 2 = n 3 = 1 :

E 1 = 3 ⋅ 6,02   μ e V → E 1 = 18,06   μ e V

A segunda menor energia ocorre para n 1 = 2 , n 2 = n 3 = 1 (repare que existem três situações em que isso ocorre):

E 2 = 6 ⋅ 6,02   μ e V → E 2 = 36,12   μ e V

A terceira menor energia ocorre para n 1 = n 2 = 2 e n 3 = 1 :

E 3 = 9 ⋅ 6,02   μ e V → E 3 = 54,18   μ e V

A quarta menor ocorre quando n 1 = 3 , n 2 = n 3 = 1 :

E 4 = 11 ⋅ 6,02   μ e V → E 4 = 66,22   μ e V

Por fim, a quinta energia ocorre quando n 1 = n 2 = n 3 = 2 :

E 5 = 12 ⋅ 6,02   μ e V → E 5 = 72,24   μ e V

Resposta

E 1 = 18,06   μ e V

E 2 = 36,12   μ e V

E 3 = 54,18   μ e V

E 4 = 66,22   μ e V

E 5 = 72,24   μ e V

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