Na ausência da resistência do ar, um projétil que aterrisse na mesma elevação de onde foi lançado atinge o alcance máximo quando o ângulo de lançamento é de 45 ° . Suponha que um projétil de massa m seja lançado com velocidade de módulo v 0 contra um vento horizontal que exerce uma força retardadora F → v e n t o = - F v e n t o i ^ .

a. Obtenha uma expressão para o ângulo de alcance máximo.

b. Em que percentagem é reduzido o alcance máximo de uma bola de 0,50   k g se F v e n t o = 0,60   N ?

Passo 1

Letra a)

Fala galera, tudo bem? Na direção y temos apenas a gravidade, então a equação de movimento para um projétil é:

y = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

Sabemos que a componente vertical da velocidade é v 0 s e n θ , partindo do chão onde y 0 = 0 e chegando novamente ao chão (queremos o alcance, então queremos saber a distância horizontal que o projétil percorreu) então temos que y = 0 também. Daí a equação de movimento fica:

0 = 0 + v 0 s e n θ - g t 2 2

t = 2 v 0 s e n θ g

Na direção horizontal temos a força do vento, então da segunda lei temos que a aceleração na horizontal é a x = - F / m . Como temos aceleração na direção horizontal, a equação de movimento para o x vai ser a do mruv também.

Obs.: qualquer dúvida sobre essas equações, não deixa de consultar esse tópico no nosso site, viu!

Da equação de movimento temos:

x = x 0 + v 0 x t + a x t 2 2

O alcance atingido será A = x - x 0 , a componente horizontal da velocidade é v 0 x = v 0 c o s θ e a aceleração é no sentido oposto ao movimento e vale – F / m , então o alcance é:

A = v 0 c o s θ t - F 2 m t 2

Mas o tempo de voo t é o mesmo nas duas direções, então vou substituir a expressão para t que encontramos do movimento vertical aqui:

A = v 0 c o s θ 2 v 0 s e n θ g - F 2 m 2 v 0 s e n θ g 2

A = 2 v 0 2 g c o s θ s e n θ - 2 v 0 2 F m g 2 s e n 2 θ

Tranquilo?

Agora que vamos calcular o que o problema pede. Ele pede o alcance máximo, certo? Então precisamos derivar essa expressão e igualar à zero:

d A d θ = 2 v 0 2 g cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ - 2 v 0 2 F m g 2 2 s e n θ c o s θ = 0

Então ficamos com:

2 v 0 2 g cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = 2 v 0 2 F m g 2 2 s e n θ c o s θ

Mas usando as identidades trigonométricas:

cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ = c o s 2 θ

2 s e n θ c o s θ = s e n 2 θ

Ficamos com:

2 v 0 2 g c o s 2 θ = 2 v 0 2 F m g 2 s e n 2 θ

E fazendo s e n 2 θ / c o s 2 θ temos t g 2 θ :

2 v 0 2 g = 2 v 0 2 F m g 2   t g 2 θ

t g 2 θ = m g F

Sendo assim, o máximo alcance é quando:

θ = 1 2 t g - 1 m g F

Passo 2

Letra b)

Sem a resistência do ar, temos que o alcance máximo é dado pela seguinte expressão:

A ' = 2 v 0 2 s e n 45 ° c o s 45 ° g = v 0 2 g

Para os valores dados de força e massa, o ângulo θ é:

θ = 1 2 t g - 1 m g F

θ = 1 2 t g - 1 0,5 ( 9,8 ) 0,6 = 41,51 °

E o alcance A já calculado no passo anterior é:

A = 2 v 0 2 g c o s θ s e n θ - 2 v 0 2 F m g 2 s e n 2 θ

Agora vou substituir o ângulo θ = 41,51 ° e v 0 2 / g por A '

A = 2 A ' c o s 41,51 ° s e n 41,51 ° - 2.0,6 0,5.9,8 A ' s e n 2 41,51 °

A = A ' 0,9926 - 0,1076 = 0,885 A '

Agora o percentual de perda é:

A ' - A A ' = A ' - 0,885 A ' A ' = 1 - 0,885 = 0,115 × 100 %

A ' - A A ' = 11,5 %

Passo 3

Beleza?

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

a ) θ = 1 2 t g - 1 m g F

b ) 11,5 %

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