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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 105

Uma barra fina e homogênea de 20   k g , com 5,0   m de comprimento, é dobrada em um semicírculo. Qual é a força gravitacional exercida pela barra sobre uma massa pontual de 0,10   k g localizada no centro da curvatura do arco circular?

Passo 1

Vamos começar desenhando o que temos. A barra que o problema descreve é a seguinte:

Como temos um semicírculo homogêneo, podemos afirmar que temos um elemento de comprimento R d θ = L π d θ que tem massa d M = M π d θ . Perceba que como é um semicírculo, dividimos as duas grandezas ( R e M ) por π . Pela simetria do problema, podemos afirmar que F y = 0 . Vamos usar a estratégia de primeiro achar d F x em função de θ e então integrar de - π 2 a π 2 .

Passo 2

Podemos expressar d F x desse jeito:

d F x = G m d M R 2 = G M m π L π 2 d θ cos ⁡ θ

Agora podemos integrar os dois lados da equação! Integrando de π 2 a π 2 :

F x = ∫ - π 2 π 2 G M m π L π 2 d θ cos ⁡ θ

Agora vamos jogar tudo que seja constante pra fora da integral:

F x = π G M m L 2 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Calculando essa integral:

∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ = [ - sin ⁡ θ ] - π 2 π 2 = 1 + 1 = 2

Agora substituindo o valor dela na equação de F x :

F x = 2 π G M m L 2

Agora é só substituir os valores e GG!

F x = 2 π 6.67 ∙ 10 - 11   m 3 k g - 1 s - 2 20   k g 0.10   k g 5.0   m 2 = 34   p N

Cabôsse! Esse é o nosso resultado.

Resposta

34   p N

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