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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 13.1 - Ex. 64

Um barril grande de altura H e área de seção transversal A 1 é preenchido com cerveja de raiz. O topo está aberto à atmosfera. Há uma abertura de torneira da área A 2 que é muito menor do que A 1 na parte inferior do barril. (a) Mostre que quando a altura da cerveja raiz é h a velocidade da cerveja sair da torneira é aproximadamente 2 g h (b) Mostre que se A 2 ≪ A 1 , a taxa de variação da altura da cerveja raiz for dada por d h d t = - A 2 A 1 2 g h (c) Ache h   como função no tempo se h = H em t = 0 . (d) Encontre o tempo total necessário para drenar o barril se H = 2.00   m 1, A 1 = 0.800   m 2 e A 2 = 1.00 * 10 - 4   A 1 . Assuma o fluxo laminar não viscoso.

Passo 1

a) Fala, querido! Queremos a velocidade de saída da cerveja do barril. Vamos listar os dados e as grandezas que ele menciona para saber como chegar nessa velocidade.

Seção de entrada de área A 1 :

- aberta a atmosfera, ou seja, P 1 = P a t m

- está na altura h 1 = h

Seção de saída de área A 2 , muito menor que A 1 .

- Como é uma seção de saída, nela o fluido também está em contato com a atmosfera, então P 2 = P a t m .

- podemos considerar que está na altura h 2 = 0

Agora um bizu. Toda vez que ele nos dá duas extremidades, e fala que uma é muito maior que a outra, você pode considerar que na extremidade maior, a velocidade de escoamento é beeem próxima de 0 . Então para o nosso caso, v 1 = 0 e v 2 é quem queremos descobrir.

Agora percebe: Nossa questão nos dá duas áreas de secção transversal, duas pressões, 2 alturas... Isso nos lembra o que? ISSO MESMO! Equação de Bernoulli!!

P 1 + ρ c e r v e j a * g * h 1 + 1 2 ρ c e r v e j a v 1 2 = P 2 + ρ c e r v e j a * g * h 2 + 1 2 ρ c e r v e j a v 2 2

Podemos aplicar a equação de Bernoulli ao topo do barril e à abertura da torneira para determinar v 2 . Bora!

Passo 2

Temos

P 1 + ρ c e r v e j a * g * h 1 + 1 2 ρ c e r v e j a v 1 2 = P 2 + ρ c e r v e j a * g * h 2 + 1 2 ρ c e r v e j a v 2 2

Vimos que

P 1 = P 2 = P a t m

Então podemos cortar as pressões dois dois lados.

ρ c e r v e j a * g * h 1 + 1 2 ρ c e r v e j a v 1 2 = ρ c e r v e j a * g * h 2 + 1 2 ρ c e r v e j a v 2 2

Podemos cortar também a densidade da cerveja agora. Ficamos com

g * h 1 + 1 2 v 1 2 = g * h 2 + 1 2 v 2 2

Como vimos que h 1 = h , v 1 = 0 e h 2 = 0 :

g h = 1 2 v 2 2

v 2 = 2 g h

Passo 3

b) Então, a tava de variação de altura da cerveja no barril é basicamente a velocidade de escoamento na seção v 1 (velocidade em que a altura de fluido diminui). A gente viu que ela é bem próxima de zero. Mas outra coisa que a gente pode fazer é escreve-la na forma de derivada

v 1 = - d h d t

Por que negativa? Porque a altura diminui conforme o tempo passa, então é uma taxa de variação negativa.

O que esse enunciado quer é uma expressão para - d h d t , para o caso do item (a), onde A 1 ≫ A 2 . Então podemos considerar que

v 2 = 2 g h

Como a gente tem duas áreas, duas velocidades e um fluido incompressível, podemos usar a equação de continuidade

I v 1 = I v 2

A 1 v 1 = A 2 v 2

Substituindo - d h d t por v 1 e 2 g h   por v 2 para obter:

- A 1 d h d t = A 2 2 g h

d h d t = - A 2 A 1 2 g h

Como ele pediu!

Passo 4

c) Quase lá galera! Ele quer h em função de t , né? Mas repara que nós temos

d h d t = - A 2 A 1 2 g h

Algo que relaciona a derivada de h em relação a t e a própria função h . Então isso é uma equação diferencial! Se a gente resolver, achamos o que ele pede. Vamos usar o método de separação de variáveis.

Então vamos separar as variáveis na equação diferencial acima, ou seja, jogar tudo que é t para um lado e tudo que é h para o outro. É bom a gente reescrever deixando as variáveis em evidência (mais separadas do que é contante):

- A 1 A 2 2 g d h h = d t

Agora integramos os dois lados

- A 1 A 2 2 g ∫ d h h = ∫ d t → - A 1 A 2 2 g ∫ d h h 1 / 2 = ∫ d t

Temos que:

  - 2   A 1 A 2 2 g h = t + C

Essa é a nossa solução da equação. Para achar C , usamos a informação que ele deu. Ele diz que em h = H , temos t = 0 . Substituindo no que a gente achou

- 2   A 1 A 2 2 g H = 0 + C → C = - 2   A 1 A 2 2 g H

Agora a gente substitui esse C na solução da equação diferencial

- 2   A 1 A 2 2 g h = t + - 2   A 1 A 2 2 g H

Isolando h :

h = H - A 2 2 A 1 2 g t 2

Passo 5

d) Agora vamos matar de vez a nossa questão, só aplicar o nosso h t para o tempo de drenagem. Queremos o tempo para drenar o barril, então queremos que no final h = 0 . Basciamente, queremos o tempo t ' para isso acontecer.

Substituindo h = 0 e t = t '   na nossa expressão h t :

0 = H - A 2 2 A 1 2 g t ' 2

H - A 2 2 A 1 2 g t = 0

H = A 2 2 A 1 2 g t

t ' = 2 A 1 A 2 H 2 g

Substituindo os valores numéricos:

t ' = 2 A 1 1 * 10 - 4 A 1 2 2 * 9.81 = 2 0,8 1 * 10 - 4 0,8 2 2 * 9.81

t ' = 6.39 * 10 3 s = 1 h   46   m i n

Resposta

c) h = H - A 2 2 A 1 2 g t 2

d) 1 h   46   m i n

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