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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 15.Problemas Adicionais - Ex. 75

Um bloco de 4,00 k g está suspenso por uma mola com k = 500 N / m . Uma bala de 50,0 g é disparada verticalmente contra o bloco, de baixo para cima, com uma velocidade de 150 m / s , e fica alojada no bloco. (a) Determine a amplitude do MHS resultante. (b) Que percentagem da energia cinética original da bala é transferida para a energia mecânica do oscilador?

Passo 1

Belezinha pessoal, tudo suave com vocês?

Nesse exercício aqui, temos um bloco de 4,00   kg suspenso por uma mola de constante elástica k = 500   N/m . Uma bala de 50,0   g é disparada verticalmente contra o bloco, de baixo pra cima, com uma velocidade de 150   m/s e fica alojada no bloco, sabendo disso, na letra (a), o enunciado nos pede para determinar a amplitude do MHS resultante.

Pra gente descobrir a amplitude do movimento, a gente precisa descobrir qual a velocidade que o sistema constituído pelo bloco-bala assumirá logo após o choque. Como a bala fica alojada no bloco, a colisão é perfeitamente inelástica. A gente pode aplicar a conservação de momento linear e descobrir qual a velocidade v final do conjunto. Dizendo que a bala tem uma velocidade inicial de v 0 , a gente tem:

m v 0 = m + M v

Logo:

v = m v 0 m + M

v = 0,050   kg 150 m / s 0,50   kg + 4,0   kg

v = 1,85 m / s

Beleza. Agora, vamos usar a conservação de energia para descobrir a amplitude do movimento y m do sistema formado pelo bloco-bala.

Saca só, quando o bloco está em sua posição inicial, a mola e as forças gravitacionais se equilibram, a mola é alongada por M g / k . Após a colisão, no entanto, o bloco oscila com MHS sobre o ponto onde a mola e as forças gravitacionais se equilibram com a bala embutida. Neste ponto a mola é alongada a uma distância l = M + m g / k , um pouco diferente do alongamento inicial.

Mas calma lá meu patrão, porque sabemos que a energia mecânica é conservada durante a oscilação. Na posição inicial, logo após a bala ser incorporada, a energia cinética é:

K = 1 2 M + m v 2

E a energia potencial elástica é:

U e l = 1 2 k M g / k 2

U e l = 1 2 M 2 g 2 k

Nós tomamos a energia potencial gravitacional para ser zero neste momento. Quando o bloco e a bala atingem o ponto mais alto ponto de seu movimento a energia cinética é zero. O bloco está então a uma distância y m acima da posição em que a mola e as forças gravitacionais se equilibram. E aqui podemos perceber que y m é a amplitude do movimento. A mola é comprimida por:

y m - l

Então a energia potencial elástica é dada como:

U e l = 1 2 k y m - l 2

A energia potencial gravitacional será dada por:

U g = M + m g y m

Logo, a conservação da energia mecânica nos diz que:

1 2 M + m v 2 + 1 2 M 2 g 2 k = 1 2 k y m - l 2 + M + m g y m

Substituindo l = M + m g / k . Isolando y m , temos:

y m = m + M v 2 k - m g 2 k 2 2 M + m

E substituindo os valores o enunciado nos fornece, obtemos:

y m = 0,050   kg + 4,0   kg 1,85 m / s 2 500 N / m - 0,050   kg 9,8 m / s 2 2 500 N / m 2 2 4,0   kg + 0,05   kg

y m = 0,166   m

Ou em cm :

y c m = 16,6   cm

Passo 2

A energia original da bala é dada por:

E 0 = 1 2 m v 0 2

E = 1 2 0,050   kg 150 m / s 2

E = 563   J

A energia cinética do sistema bala-bloco logo após a colisão é

E = 1 2 m + M v 2

E = 1 2 0,050   kg + 4,0   kg 1,85 m / s 2

E = 6,94   J

Como o bloco não se move significativamente durante a colisão, as energias potenciais gravitacionais e elásticas não mudam. Assim, E é a energia que é transferida. Portanto, a relação é:

E E 0 = 6,94   J 563   J

E E 0 = 0,0123

ou

1,23 %

Resposta

(a) y c m = 16,6   cm

(b) E / E 0 = 1,23 %

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