Enunciado

Na figura, o bloco 2 , de massa 2,0   k g , oscila na extremidade de uma mola em MHS com um período de 20   m s . A posição do bloco é dada por x = 1,0   c m c o s ⁡ ( ω t + π / 2 ) . O bloco 1 , de massa 4,0   k g , desliza em direção ao bloco 2 com uma velocidade de módulo 6,0   m / s , dirigida ao longo do comprimento da mola. Os dois blocos sofrem uma colisão perfeitamente inelástica no instante t = 5,0   m s . (A duração da colisão é muito menor que o período do movimento.) Qual é a amplitude do MHS após a colisão?

Passo 1

Belezera galerinha, agora a situação fica um pouco mais complicada, porque o bloco 2 está em movimento no instante da colisão.

Mas calma lá meu patrão, vamos usar a função que o enunciado deu pra achar a posição do bloco 2 no instante t = 5,0   ms da colisão, tal que:

x t = x m . c o s ⁡ ( ω t + π / 2 )

Pra podermos usar essa função, precisamos achar o valor de ω , mas como já temos o período T , podemos fazero seguinte:

ω = 2 π T

Tal que:

ω = 2 π 0,02

ω = π 0,01   rad /s

Convertendo tudo para metros e segundos, obtemos que:

x t = x m . c o s ⁡ ( ω t + π / 2 )

x 0,005 = x m . cos ⁡ π 0,01 0,005 + π 2

Logo:

x 0,005 = x m . cos ⁡ π 2 + π 2

x 0,005 = x m . cos ⁡ π

x 0,005 = - x m

Ou seja, no momento da colisão, o bloco 2 está no extremo negativo do comprimento, onde a mola está totalmente comprimida.

A questão deu o valor da amplitude, de forma que:

x 0,005 = - 0,01   m

Passo 2

Belezera, agora que temos essa informação, vamos calcular a velocidade do sistema após o choque.

Como a colisão é perfeitamente inelástica, sabemos que os dois blocos permanecem juntos depois da colisão. Então a lei de conservação do momento linear fica assim:

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 + m 2 V

A gente acabou de ver que, no momento da colisão, o bloco 2 está comprimindo ao máximo a mola, ou seja, a velocidade é nula.

Substituindo os outros valores, achamos o seguinte:

4,0 6,0 = 4,0 + 2,0 V

V = 24 6

V = 4,0   m/s

Passo 3

Show de bolinhas, agora temos todas as informações pra calcular a energia total do sistema depois da colisão.

Como a velocidade depois da colisão é V = 4,0   m/s , a energia cinética vai ser:

K = 1 2 m 1 + m 2 V 2

Logo:

K = 1 2 6,0 4,0 2

K = 48  J

E como a mola está comprimida em x = 0,01   m , a energia potencial vai ser:

U = k 0,01 2 2

U = 5 × 10 - 5 k

O único problema é calcular a constante elástica k , mas vamos deixar ele aí por enquanto, e no final calculamos. A energia total fica então:

E = K + U

E = 48 + 5 × 1 0 - 5 k

Passo 4

Agora que temos a energia total do novo movimento, podemos calcular a amplitude dele usando aquela fórmula de sempre:

E = 1 2 k X m   2

Onde X m é a amplitude do novo movimento, dessa forma obtemos que:

48 + 5.10 - 5 k = 1 2 k ( X m 2 )

Isolando X m , vemos que:

X m 2 = 2 48 + 5.10 - 5 k k

X m 2 = 96 + 10 - 4 k k

X m 2 = 96 k + 10 - 4

Passo 5

Agora podemos calcular o valor de k a partir da frequência angular ω :

ω = 2 π T = 314   rad/s

Onde:

ω = k m 2

Obs.: Usamos só a massa m 2 porque essa frequência é do movimento do bloco 2 antes da colisão. Sendo assim:

k = ω 2 m 2

k = 314 2 2,0

k = 2,0 × 10 5

Agora sim, substituindo esse valor na fórmula de cima, veremos que:

X m 2 = 96 ( 2,0 × 10 5 ) + 10 - 4

X m 2 = 5,8 × 10 - 4

Portanto:

X m = 0,024   m

Resposta

A amplitude será X m = 0,024   m .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um bloco que desliza em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola horizontal de constante elástica 600N / m . O bloco executa um MHS em torno da posição de equilíbrio com um período d
Um bloco de 4,00 k g está suspenso por uma mola com k = 500 N / m . Uma bala de 50,0 g é disparada verticalmente contra o bloco, de baixo para cima, com uma velocidade de 150 m / s , e fica alojada no
69. Uma massa de 10k g está se deslocando para direita com uma velocidade igual a 2,0m / s sobre uma superfície horizontal quando colide com uma segunda massa inicialmente em repouso, mas presa a uma