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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 85

Uma bola de 5,0 kg é abandonada de uma altura de 12,0 m acima de uma das extremidades de uma barra uniforme que está pivotada no seu centro. A barra possui massa de 8,0 kg e tem 4,0 m de comprimento. Na outra extremidade da barra há outra bola de 5,0 kg, que não está presa à barra. A bola largada adere à barra após a colisão. Qual altura a outra bola atingirá após a colisão?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma bola de 5,0   k g é abandonada de uma altura de 12,0   m acima de uma das extremidades de uma barra uniforme que está pivotada no seu centro.

A barra possui massa de 8,0   k g e tem 4,0   m de comprimento.

Na outra extremidade da barra há outra bola de 5,0   k g , que não está presa à barra.

A bola largada adere à barra após a colisão.

Queremos calcular a altura a outra bola atingirá após a colisão.

Para isso, vamos aplicar a conservação de energia ao movimento da primeira bola antes da colisão e ao movimento da segunda bola após a colisão.

Além disso, aplicamos a conservação do momento angular à colisão entre a primeira bola e o barra.

Passo 2

Bom... a velocidade da bola imediatamente antes de atingir a barra é

v   =   2 g y   =   15,34   m   /   s

Onde g é a aceleração da gravidade e y é a altura.

Para o momento angular inicial L 1 , temos

L 1 = m v r

L 1 = ( 5   k g ) ( 15,34   m / s ) ( 2   m )   = 153,4   k g   × m 2

Onde m é a massa e r é o comprimento da metade da barra.

Passo 3

Após a colisão, a barra e as duas esferas estão girando juntas, portanto,

ω = L I

L 2 = I ω

Onde ω é a velocidade angular e I é o momento de inércia.

O momento de inércia é I t o t a l = 1 12 m l 2 + 2 m r 2 .

I t o t a l = 1 12 8   k g 4   m 2 + 2 5   k g ( 2   m ) 2 = 51,67 k g   × m 2

Como aplicamos a conservação do momento angular, então

L 1 = L 2 = 153,4   k g   × m 2

Achando a velocidade angular,

ω = 153,4   k g   × m 2 51,67 k g   × m 2 = 3,027   r a d / s

Passo 4

Para acharmos a velocidade linear da segunda bola após a colisão, utilizamos a relação ω = v R

v =   ω R = ( 2   m ) ( 3,027   r a d / s ) = 6,055   m / s

Utilizando a conservação de energia, encontramos a altura

1 2 m v 2 = m g y

1 2 ( 6,055   m / s ) 2 = ( 9,8   m / s 2 ) y

y = 1 2 ( 6,055   m / s ) 2 9,8   m / s 2

y = 1,87   m

Resposta

Resposta: y = 1,87   m .

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