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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 120

A figura mostra um cilindro oco de 1,80 m de comprimento e 0,80 k g de massa, com raio igual a 0,20 m . O cilindro pode girar em torno de um eixo vertical que passa perpendicularmente pelo seu centro. Dois objetos estão dentro do cilindro. Cada objeto tem 0,20 k g de massa e está preso a uma mola de constante de força k e comprimento igual a 0,40 m , quando frouxa. As paredes internas do cilindro são sem atrito. (a) Determine o valor da constante de força, se os objetos estão localizados a 0,80 m do centro do cilindro, quando este gira a 24   r a d / s . (b) Qual é o trabalho necessário para levar o sistema do repouso até esta rapidez angular de 24   r a d / s ?

Passo 1

  1. Sacou o que vai acontecer aqui? Quando o sistema começar a girar, as massas vão se deslocar para fora, fazendo aparecer uma força centrípeta, que será a resultante da força da mola.

    2. F r a d i a l = k Δ x = m r ω 2

    Mas r = x + Δ x :

    k = m x + Δ x ω 2 Δ x

    Substituindo valores:

    k = 0.20 0.80 24 2 0.40

    k = 230 N / m

    Passo 2

  2. O trabalho feito sobre o sistema vai ser o responsável por criar a rotação e a deformação das molas. Então, pela conservação de energia:

W = K r o t + U m o l a

W = I ω 2 2 + k Δ x 2 2

O momento de inércia vai ser a soma do momento de inércia da mola e do cilindro.

I = I c i l i n d r o + 2 I d i s c o

O momento de inércia da casca cilíndrica é:

I c i l i n d r o = M r 2 2 + M L 2 12

Para as massas, que são discos finos, o eixo não passa no lugar que estamos acostumados, então vamos ter que usar o teoremas dos eixos paralelos. Da figura a gente pode ver que a distância ao centro de massa é x .

I d i s c o = m r 2 4 + m x 2

Então o momento de inércia vai ser:

I = M r 2 2 + M L 2 12 + 2 m r 2 4 + m x 2

Temos esses valores: M = 0.80 k g , m = 0.20 k g , R = r = 0.2 m , L = 1.80 m e x = 0.8 m .

É só substituir agora! Fazendo isso, vamos obter:

I = 0.492   N ⋅ m 2

Agora é só voltar na equação da energia e substituir!

W = 0.492 × 24 2 2 + 230 × 0.40 2 2

W = 0.16 k J

Resposta

  1. k = 230 N / m
  2. W = 0.16 k J
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