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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 89

Uma bola é atirada de baixo para cima do canto superior do telhado de um edifício. Uma segunda bola é largada do mesmo ponto 1,00 s mais tarde. Despreze a resistência do ar. (a) Sabendo que a altura do edifício é igual a 20,0 m, qual deve ser a velocidade inicial da primeira bola para que ambas atinjam

o solo no mesmo instante? Em um mesmo gráfico, desenhe a posição de cada bola em função do tempo medido a partir do lançamento da primeira bola. Considere a mesma situação, mas agora suponha que a velocidade inicial v0 da primeira bola seja conhecida e que a altura h do edifício seja uma incógnita. (b) Qual deve ser a altura do edifício para que ambas atinjam o solo no mesmo instante para os seguintes valores de v0: (i) 6,0 m/s; (ii) 9,5 m/s? (c) Quando v0 for superior a certo valor máximo vmáx, não existirá nenhum valor de h que satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no mesmo instante. Resolva explicitando vmáx. O valor vmáx possui uma interpretação física simples. Qual seria? (d) Quando v0 for inferior a certo valor mínimo vmín, não existirá um valor de h que satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no mesmo instante. Resolva explicitando vmín. O valor vmín também possui uma interpretação física simples. Qual seria?

Passo 1

Letra a:

Seja a direção +y para cima e então aplique as equações de aceleração constante para ambas as bolas. A segunda bola foi lançada 1s após a primeira bola, então t 2 = t 1 - 1 . Seja y 1 para a primeira bola, y 2 para a segunda bola e h é a altura do edifício. Então:

y 1 = h + v 0 t 1 - 1 2 g t 1 2 y 2 = h - 1 2 g t 1 - 1 2

Quando as duas bolas atingem o solo, y 1 = y 2 = 0 . Então:

h + v 0 t 1 - 1 2 g t 1 2 = h - 1 2 g t 1 - 1 2

Passo 2

Expandimos o bionomial t 1 - 1 2 e cancelamos os termos comuns em ambos os lados e reorganizamos a equação para obter uma expressão para h. Nós substituímos de volta essa expressão na equação de y 1 , e em seguida, resolvemos para h como uma função de v 0 . Por fim, reorganizamos a expressão que entramos em uma equação quadrática de não e resolvendo para obter v 0 :

v 0 t 1 - 1 2 g t 1 2 = - 1 2 g t 1 2 + g t 1 - 1 2 g v 0 t 1 = g t 1 - 1 2 g t 1 g - v 0 = 1 2 g ∴ t 1 = g 2 g - v 0

Substituindo isso de volta para y 1 = h + v 0 t 1 - 1 2 g t 1 2 = 0 :

0 = h + v 0 g 2 g - v 0 - 1 2 g g 2 g - v 0 2 h = 1 2 g g 2 4 g - v 0 2 - v 0 2 g - v 0

h = 1 2 g g 2 - 4 v 0 g - v 0 4 g - v 0 2 = 1 2 g 1 2 g 2 - v 0 g + v 0 2 g - v 0 2

Passo 3

O numerador é um quadrado completo, então temos h em função de v 0 :

h = 1 2 g 1 2 g - v 0 2 g - v 0 2

Agora resolvemos os termos binomiais e reorganizamos a equação para obter uma equação quadrática em v 0 :

2 h g 2 + v 0 2 - 2 g v 0 = g 1 4 g 2 + v 0 2 - g v 0 v 0 2 ( 2 h - g ) - v 0 4 g h - g 2 + g 2 2 h - g 4 = 0

Colocando os valores de h e g:

30.2 v 0 2 - 687.96 v 0 + 3606.302 = 0

Resolvendo esta equação quadrática para v 0 :

v 0 = 8.17 m / s  ou  v 0 = 14.6 m / s

A segunda solução é rejeitada porque depois de 1s, a primeira bola ainda está subindo

enquanto a segunda bola começou a cair.

Para o gráfico use a equação

y 1 = h + v 0 t 1 - 1 2 g t 1 2  e  y 2 = h - 1 2 g t 1 - 1 2

Passo 4

Letra b:

Voltando à expressão de h como uma função de v 0 , que obtivemos na parte (a) podemos substituir os valores de v 0 e g para obter h:

h = 1 2 g 1 2 g - v 0 2 g - v 0 2

  1. v 0 = 6 m / s

    2. h = 4.9 ( 4.9 - 6 ) 2 ( 9.8 - 6 ) 2 = 0.411 m

  2. v 0 = 9.5 m s

h = 4.9 ( 4.9 - 9.5 ) 2 ( 9.8 - 9.5 ) 2 = 1152 m

Passo 5

Letra c:

Da expressão que obtemos para h temos uma função de v 0 , o denominador não pode ser zero. Então, a medida que v 0   alcança 9.8 m / s , h se aproxima de infinito:

∴ v 0 m a x = 9.8 m s

Passo 6

Letra d:

Também da expressão que obtivemos para h em função de v 0 , o numerador se aproxima de zero conforme v 0 se aproxima de 4.9 m/s, e h se aproxima de zero. Isso corresponde

a primeira bola ficando cada vez mais perto (em seu caminho para baixo) do topo do

telhado quando a segunda bola é lançada. Se v 0 < 4.9 m / s , a primeira bola já passou o telhado no caminho para baixo antes que a segunda bola seja lançada, e a segunda bola nunca pode alcançá-la:

∴ v 0 m i n = 4.9 m s

Resposta

  1. v 0 = 8.17 m s
  2.  (i)  h = 0.411 m

    3. ( ii )  h = 1152 m

  3. v 0 m a x = 9.8
  4. v 0 m i n = 4.9 m / s
Ver Outros Exercícios desse livro

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