Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 2.10 - Ex. 69
Quando uma bola de futebol é chutada na direção de um jogador e o jogador desvia de cabeça, a aceleração da cabeça durante a colisão pode ser relativamente grande. A Fig 2-35 mostra a aceleração da cabeça de um jogador de futebol sem e com capacete, a partir do repouso. A escala vertical é definida por . Qual é a diferença entre a velocidade da cabeça sem e com o capacete no instante ?
Passo 1
Para começar vamos lembrar a definição de velocidade:
sem esquecer que a integral é a área da função que estamos integrando.
O exercício nos deu o gráfico da aceleração em duas ocasiões: uma com capacete (gráfico menor) e outra sem capacete (gráfico maior). Então, a partir das áreas dos gráficos, conseguimos extrair o valor da velocidade em cada instante de tempo.
Assim, podemos encontrar a diferença entre a velocidade da cabeça sem e com capacete no instante () calculando a diferença dessas áreas ().
Porém, como nem tudo são flores, precisamos prestar atenção as unidades do problema. O eixo da aceleração (eixo ) está em e o eixo do tempo (eixo ) está em , logo, precisamos consertar as unidades. Para isso, multiplicaremos o eixo do tempo por para transformar de milissegundo para segundo.
Além disso, podemos ver que se , cada quadradinho no eixo tem .
Para resolução de problemas como este, o macete é separar o gráfico em figuras com as fórmulas de áreas conhecidas. As fórmulas das áreas figuras que aparecem neste exercício são:
Passo 2
Vamos iniciar calculando a velocidade da cabeça sem capacete (), para isso, calcularemos a área .
Neste caso, dividiremos a área total em dois triângulo e dois trapézios.
Primeira divisão (triângulo amarelo):
Segunda divisão (trapézio vermelho):
Terceira divisão (trapézio verde):
Quarta divisão (triângulo azul):
Assim, encontramos a velocidade da cabeça sem capacete () no instante somando as áreas acima:
Passo 3
Agora, faremos de maneira análoga para calcular a velocidade da cabeça com capacete (). A área que calcularemos é:
Para este, calcularemos as áreas de dois triângulos, um retângulo e um trapézio.
Primeira divisão (triângulo amarelo):
Segunda divisão (retângulo vermelho):
Terceira divisão (trapézio verde):
Quarta divisão (triângulo azul):
Assim, a velocidade da cabeça com capacete () no instante é:
Passo 4
Para finalizar, o exercício pede a diferença entre a velocidade da cabeça sem e com capacete (). Com os valores das velocidades em mãos, basta subtrair uma da outra: