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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 24

Uma bola de gude homogênea rola para baixo a partir do topo da lateral esquerda de uma tigela simétrica, partindo do repouso. O topo de cada lateral está a uma distância h do fundo

da tigela. A metade esquerda da tigela é áspera o suficiente para fazer a bola de gude rolar sem deslizar, mas a metade direita não possui nenhum atrito porque está coberta de óleo. a) A que altura da lateral lisa a bola de gude subirá, se medida verticalmente a partir do fundo? b) A que altura a bola de gude iria se ambos os lados fossem tão ásperos quanto o lado esquerdo? c) A que você atribui o fato de que a bola de gude sobe mais com o atrito do lado direito do que sem atrito?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma bola de gude homogênea rola para baixo a partir do topo da lateral esquerda de uma tigela simétrica, partindo do repouso.

O topo de cada lateral está a uma distância h do fundo da tigela.

Além disso, a metade esquerda da tigela é áspera o suficiente para fazer a bola de gude rolar sem deslizar, mas a metade direita não possui nenhum atrito porque está coberta de óleo.

Com essas informações, devemos calcular a altura da lateral lisa que a bola de gude subirá, se medida verticalmente a partir do fundo.

Também queremos encontrar a altura que a bola de gude iria se ambos os lados fossem tão ásperos quanto o lado esquerdo.

Por fim, devemos explicar o porquê do fato de que a bola de gude sobe mais com o atrito do lado direito do que sem atrito.

Para resolver isso, vamos aplicar a conservação de energia ao movimento do mármore.

Sabemos que a energia cinética K é:

K = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

Com I = 2 5 m R 2 .

E v = R ω   para escorregar.

Onde m é a massa, v é a velocidade, I é o momento de inércia, ω é a velocidade angular e R é o raio.

Tomando como y = 0 no fundo da tigela.

Passo 2

  1. Se movendo do ponto inicial para o fundo da tigela:

    2. m g h = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

    ⇒ m g h = 1 2 m v 2 + 1 2 2 5 m R 2 v R 2

    ⇒ v = 10 7 g h

    Passo 3

    Movimento ao longo do lado liso: A energia cinética rotacional não muda, pois não há torque de atrito no mármore,

    1 2 m v 2 + K r o t = m g h ' + K r o t

    ⇒ h ' = v 2 2 g = 10 7 g h 2 g = 5 7 h

    Passo 4

  2. Como,

    3. m g h = m g h '

    Então,

    h ' = h

    Passo 5

  3. Com o atrito nas duas metades, toda a energia potencial inicial é convertida de volta ao potencial energia.

Sem atrito na metade direita, parte da energia ainda está em energia cinética rotacional quando o mármore é na sua altura máxima.

Resposta

  1. h ' = 5 7 h
  2. h ' = h
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