Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 106
A bolinha de um pêndulo de comprimento é puxada lateralmente até que o fio forme um ângulo com a vertical e então seja liberada. No exemplo 7-5, a conservação da energia foi usada para obter a rapidez da bolinha na parte mais baixa de sua trajetória. Neste problema, você deve obter o mesmo resultado usando a segunda lei de Newton. (a) Mostre que a componente tangencial da segunda lei de Newton se escreve como , onde é a rapidez e é o ângulo entre o fio e a vertical. (b) Mostre que pode ser escrito como . (c) Use este resultado e a regra da cadeia de derivação para obter . Combine os resultados das Partes (a) e (c) para obter . (e) Integre o lado esquerdo da equação da Parte (d), de até a rapidez final , e o lado direito de até , para mostrar que o resultado é equivalente a , onde é a altura original da bolinha acima do ponto mais baixo de sua trajetória.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
A situação exposta no enunciado está descrita na figura abaixo:
O enunciado nos diz o passo a passo que deve ser seguido, então vamos lá. Para o item (a):
Aplicando a segunda lei de Newton:
Passo 2
Item (b):
Relacionando o arco com o comprimento do pêndulo e o ângulo , temos:
Derivando com relação ao tempo, temos:
Passo 3
Item (c):
Multiplicando por e substituindo por do Passo 2, temos:
Do passo 2, sabemos que , logo:
Passo 4
Item (d):
Do Passo 1, sabemos que , logo:
Reorganizando, temos:
Passo 5
Item (e):
Agora temos que integrar nos limites disponibilizados:
Pela figura, podemos notar que , logo: