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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 30

Para cada um dos casos do Problema 29, determine | A → × B → | para estimar qual dos pares de vetores está mais próximo de ser ortogonal. Verifique suas respostas calculando o ângulo, usando produto escalar.

Passo 1

Os casos são os seguintes: (a) A → = 4 i ^ e B → = 6 i ^ + 6 j ^ , (b) A → = 4 i ^ e B → = 6 i ^ + 6 k ^ e (c) A → = 2 i ^ + 3 j ^ e B → = 3 i ^ + 2 j ^ .

Vamos usar as seguintes coisas:

Produto vetorial:

A → × B → = | A → | | B → | s e n ( θ )

Produto escalar:

A → ⋅ B → = | A → | | B → | c o s ( θ )

Passo 2

Agora vamos aos itens:

a) A → = 4 i ^ e B → = 6 i ^ + 6 j ^

A → × B → = 4 i ^   × 6 i ^ + 6 j ^ = 24 i ^ × i ^ + 24 i ^ × j ^ = 24 ⋅ 0 → + 24 k ^ = 24 k ^

Logo,

s e n θ = A → × B → A → B → = 24 4 ⋅ 6 2 = 1 2 = 2 2

Assim,

θ = 45 °

Conferindo pelo produto escalar:

A → ⋅ B → = 4 i ^   ⋅ 6 i ^ + 6 j ^ = 24 + 0 = 24

c o s θ = A → ⋅ B → A → B → = 24 4 ⋅ 6 2 = 1 2 = 2 2

Assim,

θ = 45 °

Portanto, confirmamos que o ângulo é realmente 45 ° .

b)   A → = 4 i ^ e B → = 6 i ^ + 6 k ^

A → × B → = 4 i ^ + 0 k ^ × 6 i ^ + 6 k ^ = 24 i ^ × i ^ + 24 i ^ × k ^ = 0 → + 24 - j ^ = - 24 j ^

Logo,

s e n θ = A → × B → A → B → = 24 4 ⋅ 6 2 = 1 2 = 2 2

Assim,

θ = 45 °

Conferindo pelo produto escalar:

A → ⋅ B → = 4 i ^   ⋅ 6 i ^ + 6 j ^ = 24 + 0 = 24

c o s θ = A → ⋅ B → A → B → = 24 4 ⋅ 6 2 = 1 2 = 2 2

Assim,

θ = 45 °

Portanto, confirmamos que o ângulo é realmente 45 ° .

Passo 3

Por fim, temos:

c)

A → × B → = 2 i ^ + 3 j ^ × 3 i ^ + 2 j ^

Fazendo a distributiva:

A → × B → = 6 i ^ × i ^ + 4 i ^ × j ^ + 9 j ^ × i ^ + 6 × ( j ^ × j ^ )

Assim,

A → × B → = 0 → + 4 k ^ - 9 k ^ + 0 → = - 5 k ^

Agora vamos repetir o processo!

s e n θ = A → × B → A → B → = 5 13 ⋅ 13 = 5 13

Logo,

θ = a r c s e n 5 13 ≅ 23 °

Conferindo pelo produto escalar:

A → ⋅ B → = 2 i ^ + 3 j ^ × 3 i ^ + 2 j ^ = 6 + 6 = 12

c o s θ = A → ⋅ B → A → B → = 12 13 ⋅ 13 = 12 13

Logo,

θ = a r c c o s 12 13 ≅ 23 °

Portanto, confirmamos que o ângulo é aproximadamente 23 °

Logo, os mais próximos de serem ortogonais são (a) e (b).

Resposta

Os mais próximos de serem ortogonais são (a) e (b).

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Dois vetores são dados por a → = 3 , 0 i ^ + 5 , 0 j ^ e b → = 2 , 0 i ^ + 4 , 0 j ^ . Determine (a)a → × b → , (b)a → ∙ b → (c) a → + b → ∙ b → e (d) a componente de a → em relação a b → .
Qual é o módulo de a → × b → × a → se a = 3,90 , b = 2,70 e o ângulo entre os dois vetores é 63,0 ° ?
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Na Fig. 3-38, o modulo de a é 4,3, o módulo de b é 5,4 e ϕ = 46 ° . Calcule a área do triangulo formado pelos vetores e a diagonal do paralelogramo.