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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 3.Problemas Adicionais - Ex. 74

O vetor a → está no plano yz, faz um ângulo de 63,0 ° com o semieixo y positivo, tem uma componente z positiva e tem um módulo de 3,20 unidades. O vetor b → está no plano xz, faz um ângulo de 48,0 ° com o semieixo x positivo, tem uma componente z positiva e tem um módulo de 1,40 unidade. Determine (a)   a → ∙ b → , (b)   a → × b → e (c) o ângulo entre a → e b → .

Passo 1

Vamos escrever os dois vetores em termos dos vetores unitários, como o primeiro vetor faz um ângulo de 63° com o semieixo de y positivo, podemos utilizar o cosseno desse ângulo para encontrarmos a componente na direção j ^ e o seno nos dará a componente na direção k ^ :

a → = 3 , 20 c o s 63 ° j ^   + s i n   63 ° k ^ = 1 . 45 j ^ + 2.85 k ^

Utilizando o mesmo raciocínio, podemos escrever o vetor b → em termos do ângulo que ele faz com o semieixo x positivo:

b → = 1,4 0 c o s 48 ° i ^   + s i n   48 ° k ^ = 0,937 i ^ + 1,04 k ^

Passo 2

(a) O produto escalar será:

a → ∙ b → = 0 0,937 + 1,45 0 + 2,85 1,04 = 2,97

Passo 3

(b) E o produto vetorial:

a → × b → = a y b z - a z b y i ^ + a z b x - a x b z j ^ + a x b y - a y b x k ^

a → × b → = 1,45 1,04 - 0 i ^ + ( 2,85 0.937 - 0 ) ) j ^ + ( 0 - ( 1,45 ) ( 0.937 ) ) k ^

a → × b → = 1,51 i ^ + 2,67 j ^ - 1,36 k ^

Passo 4

(c) O ângulo entre os vetores pode ser determinado através do produto escalar entre eles, que já calculamos antes:

a → ∙ b → = a b c o s θ

E então calculamos o arco cosseno:

θ = arccos ⁡ a → ∙ b → a b = arccos ⁡ 2,97 3,20 1,40 = 48,5 °

Resposta

( a ) a → ∙ b → = 2,97

( b ) a → × b → = 1,51 i ^ + 2,67 j ^ - 1,36 k ^

( c ) θ = 48,5 °

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