Enunciado
Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.4 - Ex. 28
Uma caixa cúbica de dimensões contém um elétron (cuja massa é ). Determine, em múltiplos de , onde é a massa do elétron; (a) a energia do estado fundamental do elétron; (b) a energia do segundo estado excitado; (c) a diferença entre as energias do segundo e do terceiro estados excitados. Determine também quantos estados degenerados possuem a energia (d) do primeiro estado excitado; (e) do quinto estado excitado.
Passo 1
Vamos usar a equação para os níveis de energia do elétron confinado na caixa:
A questão pede para separarmos em múltiplos de , vamos multiplicar e dividir o lado direito por :
E passar a primeira parte do lado direito para a esquerda, para que a resposta fique em múltiplos:
Como o enunciado diz que as dimensões da caixa são , então:
Passo 2
(a) Para o estado fundamental, substituímos os valores dos níveis da equação do Passo 1, e ficamos com:
Passo 3
(b) A terceira menor energia do sistema (o segundo estado excitado) será:
Passo 4
(c) O terceiro estado excitado vai ser:
E a diferença entre ele o segundo estado excitado:
Passo 5
(d) O primeiro estado excitado é:
Os outros valores dos níveis de energia que correspondem a essa energia são:
No total, são 3 estados degenerados.
Passo 6
(e) O quinto estado excitado é:
E os valores dos outros níveis de energia serão:
Ou seja, 6 estados degenerados.
Nos casos do Passo 5 e do Passo 6, como as dimensões da caixa são iguais, isso significa que basta alternarmos os valores de , e , até esgotar as possibilidades, dessa forma que obtemos o número de estados degenerados.