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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 33

(a) Calcule a derivada em relação à tração da rapidez do som em uma corda, d v / d F T , e mostre que as diferenciais d v e d F T satisfazem d v / v = 1 2 d F T / F T . (b) Uma onda se move com uma rapidez de 300   m / s em uma corda que está sob uma tração de 500   N . Usando a aproximação diferencial, estime qual a variação deve sofrer a tração para que a rapidez seja aumentada para 312   m / s . (c) Calcule Δ F T exatamente e compare-o com o resultado da aproximação diferencial da Parte (b). Suponha que a corda não se distenda com o aumento da tração.

Passo 1

Primeiro vamos relacionar a velocidade com a tração e depois fazer essa derivada que ele ta falando. Se liga só:

v = F T μ

Derivando,

d v d F T = 1 2 1 F T μ

Como queremos mostrar que d v / v = 1 2 d F T / F T . Podemos fazer d v / v olhá só:

d v v = 1 v ⋅ 1 2 1 F T μ d F T

Usando que v = F T μ :

d v v = 1 F T μ ⋅ 1 2 1 F T μ d F T

Portanto,

d v v = 1 2 d F T F T

Passo 2

(b) Nesse item vamos usar aproximação diferencial, logo

d v v = 1 2 d F T F T →   Δ v v = 1 2 Δ F T F T

Assim,

Δ v = 312 m s - 300 m s = 12 m s

Substituindo os valores, temos:

Δ F T = 2 F T Δ v v = 2 ⋅ 500   N ⋅ 12 m s 300 m s

Fazendo as contas:

Δ F T = 40   N

Passo 3

Por último, vamos achar o valor exato de Δ F T :

v 1 = F T 1 μ   ;   v 2 = F T 2 μ

Divindo, temos:

v 1 v 2 = F T 1 F T 2 →     v 1 2 v 2 2 = F T 1 F T 2

Portanto,

F T 2 = v 2 2 v 1 2 F T 1

Fazendo Δ F T :

Δ F T = v 2 2 v 1 2 F T 1 - F T 1 = 312 m s 300 m s 2 ⋅ 500   N - 500   N ≅ 40,8   N

Comparando os valores, temos:

d i f = Δ F T e x a t o - Δ F T Δ F T e x a t o = 40,8   N - 40,0   N 40,8   N ≈ 2 %

Resposta

(b) Δ F T = 40   N

(C) d i f ≈ 2 %

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